Daily Archives: June 9, 2015

Valeurs de vérité dans un topos

Commençons par le cas classique : il y a deux valeurs de vérité, vrai ou faux, vrai correspond à 1 et faux à 0.
L’ensemble des valeurs de vérité est donc l’ensemble {0,1}. Ceci correspond au topos des ensembles noté Ens ou en anglais Set.
C’est la catégorie dont les objets sont les ensembles, et les morphismes, ou flèches, entre deux ensembles sont les fonctions entre ces deux ensembles:

f : X ——-> Y

telles que pour tout élément x ∊ X il existe un unique y ∊ Y :

y = f(x)

Ces fonctions peuvent se décrire par l’ensemble des paires ordonnées:

{(x, f(x) / x ∊ X}

Dans un topos général, qui ne sera pas forcément le topos Ens, l’analogue de l’ensemble {0,1} sera le classificateur de sous-objets Ω que Badiou appelle “transcendantal” dans “Logiques des mondes” et qui est parfois appelé objet-vérité (“Truth object”) ou objet des valeurs de vérité.

Voir cette entrée du nlab:

http://ncatlab.org/nlab/show/truth+value

Dans la catégorie des ensembles soit un ensemble X quelconque : ses éléments pourront être identifiés aux flèches (qui dans la catégorie des ensembles sont les fonctions):

1 ———> X

Où 1 est l’objet terminal, c’est à dire l’objet tel qu’il existe pour tout objet A une seule flèche :

A ———–> 1

Dans Ens n’importe quel ensemble à un seul élément est objet terminal : on vérifie alors immédiatement qu’une fonction 1 —–> X sélectionne un élément et un seul de l’ensemble X : le correspondant de l’unique élément de 1 par cette fonction.

Dans un topos on a toujours un objet terminal 1 (on démontre facilement que les objets terminaux sont tous isomorphes, un isomorphisme étant une flèche inversible, définis comme on dit “à un isomorphisme près”).

Les éléments de l’objet Ω sont donc les flèches :

1 ———-> Ω

Dans tout topos, l’ensemble ordonne, des valeurs de vérité possède une structure d’algèbre de Heyting:

http://ncatlab.org/nlab/show/Heyting+algebra

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Les deux formalismes mathématiques de Badiou : théorie des ensembles et théorie des topoi

On peut critiquer l’oeuvre de Badiou (dont on doit reconnaître cependant l’extrême hauteur de vue intellectuelle) de plusieurs points de vue : strictement mathématique, politique, philosophique….

l’article dont j’ai donné la référence ici :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/06/04/la-faute-de-labbe-badiou/

privilégie le point de vue mathématique, celui du formalisme utilisé , comme on le verra, pour ma part je reconnais la nécessité de plonger très profond dans la partie mathématique de l’oeuvre (axiomatique ZF des ensembles, “forcing” de Paul Cohen, théorie des catégories et des topoi) sinon l’on court le risque d’en rester à un niveau très général, littéraire voire “politique” envisagé du point de vue de la “bien pensance démocratique”, en dénonçant comme Caroline Fourest ou d’autres le maoïsme ou le polpotisme (qui n’est pas avéré) provocateur de Badiou , en tout cas son opposition à la “prétendue” démocratie…

pour ma part j’ai déjà un grief, qui touche à son petit mais magistral écrit :

“Saint Paul : la fondation de l’universalisme”

voir à ce propos :

https://enseignement-latin.hypotheses.org/6792

or selon les vues développées ici, la fondation de l’universalisme se situe dans le cartésianisme et la mathesis universalis,, stade évolutif (non dogmatique) du platonisme qui est la vérité de la philosophie, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/25/le-platonisme-est-la-verite-de-la-philosophie/

(c’est d’ailleurs un second sujet de grief : la nature du platonisme, totalement différente chez Badiou et chez Brunschvicg) et comme le dit Singevin cité dans cet article :

“« Il y a une mesure du vrai, et elle est en nous, dans cette puissance universelle de juger qui est, selon la maxime du cartésianisme, la chose du monde la mieux partagée. Mais c’est aussi que l’être lui même, que l’univers l’y a mise, en ce qu’il vise l’un, que l’ un est valeur, et que ce qui juge de la valeur, c’est nous »”

L’évènement de Damas (d’ailleurs fort suspect, mais ce n’est pas ici la place d’en discuter) doit donc céder la place à la nuit de songes de Descartes, où il aperçoit l’idée de la “science admirable”:

http://singulier.info/rrr/2-rdes1.html

Mais les moyens de parvenir à cette heureuse conquête ne lui causèrent pas moins d’embarras que la fin même. La recherche qu’il voulut faire de ces moyens jeta son esprit dans de violentes agitations, qui augmentèrent de plus en plus par une contention (i) continuelle où il le tenait, sans souffrir que la promenade ni les compagnies y fissent diversion. Il le fatigua de telle sorte que le feu lui prit au cerveau et qu’il tomba dans une espèce d’enthousiasme, qui disposa de telle manière son esprit déjà abattu qu’il le mit en état de recevoir les impressions des songes et des visions. 

  il nous apprend que le dixième de novembre mil six cent dix-neuf, s’étant couché tout rempli de son enthousiasme et tout occupé de la pensée d’avoir trouvé ce jour-là les fondements de la science admirable , il eut trois songes consécutifs en une seule nuit, qu’il s’imagina ne pouvoir être venus que d’en haut……

….Voyant que l’application de toutes ces choses réussissait si bien à son gré, il fut assez hardi pour se persuader que c’était l’esprit de vérité qui avait voulu lui ouvrir les trésors de toutes les sciences par ce songe.”

Le chantier Badiou s’attachera surtout à étudier ses deux oeuvres les plus importantes : “L’être et l’évènement” et “Logiques des mondes”, les seuls où la mathématique est prépondérante pour donner forme au système.

L’examen de l’article “Badiou’s mistake” sur Arxiv :

http://arxiv.org/abs/1301.1203

sera facilité par celui de l’article de David Rabouin titré :

“Objet, relation, transcendantal : une introduction au formalisme de Logiques des mondes”

qui se trouve dans le livre “Autour de Logiques des mondes”, en lecture partielle ici:

https://books.google.fr/books?id=yJfh4V-iLskC&pg=PA33&lpg=PA33&dq=david+rabouin+objet+relation+transcendantal&source=bl&ots=0og1wxJpQX&sig=0DV2PDa7RK58ox2LITXFg_fwd5c&hl=fr&sa=X&ei=jtp2Vfu9McyqUZC6gwg&ved=0CFQQ6AEwCA#v=onepage&q=david%20rabouin%20objet%20relation%20transcendantal&f=false

(l’article de Rabouin commence en page 29, et l’on peut en lire la majeure partie)

voir aussi :

http://www.academia.edu/7288782/Objet_relation_transcendantal._Une_introduction_au_formalisme_de_Logiques_des_mondes_dAlain_Badiou

et

http://www.diffusion.ens.fr/en/index.php?res=conf&idconf=1565

Le formalisme dans “Logiques des mondes” est celui de la catégorie, qui est un topos, des Ω-sets, appelés T-sets dans l’article de Antti Veilahti : “Badiou’s mistkae” (T comme Truth).

L’objet Ω qui est le “transcendantal” de Badiou, est ce que l’on appelle en théorie des catégories : “classificateur (ou classifieur) de sous-objets”, voir le paragraphe à ce nom dans la page Wiki:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Topos_%28math%C3%A9matiques%29#Classificateur_de_sous-objets

L’objection de fond de Antti Veilahti, qui est d’ailleurs confirmée en termes différents et plus généraux par David Rabouin, se situe dans la différence des cadres mathématiques utilisés par Badiou : théorie des ensembles dans “L’être et l’évènement”, théorie des topoi dans “Logiques des mondes”.

Seulement Badiou est empêché par ses conceptions philosophiques de prendre la pleine mesure de l’universalité de la théorie des topoi, qu’il restreint à un domaine bien particulier, celui appelé par Veilahti : “local topoi”, une branche particulière dont les objets ont une forme ensembliste.

Il ne veut pas s’affranchir de ses réflexions de “L’être et l’évènement” suivant lesquelles la théorie de l’être en tant qu’être, l’ontologie, trouve son cadre dans la théorie platonicienne des ensembles, alors que les topoi et les catégories constitue une pensée logique, une pensée des mondes possibles et de l’apparaître, une pensée du virtuel et non du réel (qui est l’être auquel on adjoint les évènements qui sont des ensembles éléments d’eux mêmes, interdits par l’ontologie mathématique.

Tout cela aboutit à parler du caractère platonicien de la théorie des ensembles, et aristotélicien de la théorie des catégories et des topoi, et là je dois dire que je ne puis pas suivre.

Le platonisme qui est revendiqué ici est déjà impliqué dans la considération, à la suite du premier chapitre de “Raison et religion” de Brunschvicg, du plan vital (ou sensible) et du plan spirituel qui est celui des idées platoniciennes : dans la forme extrémiste de mes spéculations (qui certes devront être vérifiées) ce sont les idées mathématiques, les μαθηματα dont parle Brunschvicg en les opposant aux λογοι .

Topoi comme catégories ou ensembles sont des idées mathématiques, des μαθηματα : donc je ne vois pas comment la théorie des ensembles serait platonicienne alors que la théorie des topoi ne le serait pas.

Degrés de vérité en théorie classique ou quantique des probabilités

Henosophia Τοποσοφια οντοποσοφια μαθεσις uni√ersalis ενοσοφια

ΩJe viens de trouver sur la mailing list des théoriciens des catégories :

http://blog.gmane.org/gmane.science.mathematics.categories

cette mention par Fred Linton le 7 juin d’un article de Rachel Wallace Garden disant:

“which seems of interest to toposophical logicians, whence my mention here.”

évoquant donc explicitement la “toposophie” qui est dans le nom de ce blog.

En même temps cet article à propos des degrés de vérité dans la théorie des probabilités, classique ou quantique, et dans la théorie des ensembles flous, peut être relié au formalisme de Badiou dans “Logiques des mondes” avec ce qu’il appelle de manière kantienne (ironique) le “transcendantal Ω”, donc au chantier Badiou que nous avons lancé ici avec:

La faute de l’abbé Badiou

Voici cet article mentionné par Linton, à parcourir donc dans l’optique des travaux sur le badiolisme, qui a été assimilé par Laruelle à une opération d’épuration de la pensée:

Degrees of truth in classical and…

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