Monthly Archives: July 2015

Conférence internationale de théorie des catégories CT2015

La conférence annuelle CT2015 s’est tenue au Portugal à l’universited’Aveiro du 14 au 19 juin 2015.

Vous avez ici la liste des exposés, avec pour la plupart les “slides” (texte de l’exposé):

http://ct2015.web.ua.pt/talks.html

A noter que William Lawvere, inventeur avec Grothendieck de la théorie des topoi (Grothendieck pour le versant géométrique, Lawvere pour le versant logique) a donné un cours sur le thème:

Alexandre Grothendieck et la conception moderne de l’espace

dont le résumé est ici:

http://ct2015.web.ua.pt/abstracts/lawvere_b.pdf

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Action d’un foncteur sur une transformation

Nous avons déjà rencontré ce cours “Groupoides quantiques et logiques tensorielles” à propos de l’adjonction et des 2-catégories:

http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~mellies/slides/ed-cours-2.pdf

Page 5 à 8 il constitue un bon résumé sur les catégories et foncteurs.

Page 9 il explique la notion de “transformation”, qui est plus générale que celle de transformation naturelle à laquelle nous avons consacré cet article:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/
C’est simple : une transformation entre deux foncteurs F et G reliant les deux mêmes catégories A et B:

F, G : A ——————-> B

est une famille de flèches θ dans la catégorie cible B qui est indexée par les objets a de la catégorie source A, ces morphismes étant (pour tout objet a variant dans A:

θ_a : Fa ————–> Ga

( Fa et Ga sont des objets de B, correspondants de a par les foncteurs F et G)

La condition de commutativité des carrés pour que la transformation soit naturelle est expliquée page 20

Mais il existe une notion plus générale que les 2-catégories, les sesqui-catégories où les 2-morphismes sont les transformations : une 2-catégorie est une sesqui-catégorie où les transformations entre foncteurs sont naturelles.

Voir page 18 à 22 sur les sesqui-catégories.

On peut composer deux foncteurs si la catégorie source du second est la catégorie cible du premier.
On peut composer deux transformations, de deux manières, comme tout 2-morphisme: horizontale et verticale.

Mais on peut aussi “composer” un foncteur et une transformation (naturelle ou non), cela s’appelle action d’un foncteur sur une transformation, et il y en a de deux sortes : action à droite et action à gauche. Une action d’un foncteur sur une transformation donne une nouvelle transformation.

L’action à gauche est expliquée page 11 à 13: elle est le fait d’un foncteur :

H : B ————> C

se “composant” avec une transformation θ entre deux foncteurs (avec lesquels H peut se composer aussi)

F,G : A ————> B

Ce ne peut être qu’une transformation entre les deux foncteurs composés allant de A vers C, résultant de la composition de H après F et de H après G:

H ° F et H ° G : A ————> C

C’est tout simplement la transformation dont les “composantes” pour chaque objet a de la catégorie A, qui doivent être des morphisme sur dans C, sont données par:

H ° θ_a : H ° F(a) ———> H ° G(a)

Généralement les livres n’expliquent pas cette composition, considérant que c’est évident, et c’est effectivement la seule solution…mais je considère que cela va mieux en le disant ou plutôt en l’écrivant explicitement.

L’action à droite est expliquée pareillement page 14 à 16, en remplaçant simplement H ° F et H ° G par F ° H et G ° H puisque le foncteur H est maintenant situé “avant”, allant de A à B , et les deux foncteurs reliés par la transformation θ vont de B à C

A. —– H —–> B ——-F,G,θ——–> C

A noter que le texte ne parle que des compositions verticales de transformations.

Et page 17 est écrite une sorte d'”associativité” ( mais qui n’en est pas vraiment une puisqu’il s’agit de deux opérations : action à gauche et action à droite)

Une note de Laurent Lafforgue sur les travaux d’Olivia Caramello

La théorie de Caramello: un cadre en construction pour des correspondances du type de celle de Langlands ?

http://www.ihes.fr/~lafforgue/math/TheorieCaramello.pdf

Laurent Lafforgue est ce grand mathématicien, admiré entre autres par l’excellent Finkielkraut, dont nous avions déjà remarqué un article (remarqué parce que remarquable) sur Simone Weil et la mathématique, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/03/simone-weil-et-la-mathematique/

et

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/06/16/simone-weil-et-la-mathematique-suite-la-sphere-et-la-croix/

Ici il donne un exposé, beaucoup plus “technique” mathématiquement parlant, sur les travaux déjà très fournis d’une jeune chercheuse et universitaire, Olivia Caramello dont nous étudions un cours sur les topoi de Grothendieck:

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/cours/topos_caramello/cours-du-14-janvier-2013-rappels-sur-les-topos-de-grothendieck

voir mes articles (qui se bornent en des commentaires censés faciliter aux lecteurs non familiers de ces notions la compréhension de ce cours, mais peut être surestimé-je mes capacités) dans le hashtag #GrothendieckTopos dont le dernier est tout récent:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

Nous n’avons pas encore avancé assez pour tirer toute la substantifique moelle de cet exposé de Laurent Lafforgue, mais je prie les personnes intéressées par les thèmes des blogs

HENOSOPHIA TOPOSOPHIA τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια ενοσοφια

de le noter et ranger dans un coin de leur mémoire comme je le fais car nous y reviendrons sans aucun doute.

Les travaux de Caramello sont très proches, comme ceux de Grothendieck, des préoccupations “philosophiques” de mes blogs “HENOSOPHIA TOPOSOPHIA τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια ενοσοφια” car ils portent sur l’unification de la pensée qui est à mon avis l’essence même de la mathématique et peuvent nous aider à nous acheminer vers cette “pensée selon l’un” comme alternative à la pensée ontologique, en quoi nous cherchons le salut “religieux”. Rappelons que Grothendieck, influencé par les doctrines orientales, parlait souvent de yoga ( des foncteurs, des motifs,…). “Yoga” qui évoque la jonction, le lien, l’unification…

Bien entendu chacun(e) peut s’aventurer, avec les seules ressources d’Internet, dans cette jungle en solitaire, il suffit de chercher sur Google les références pour les termes inconnus ( exemple : Topos Giraud, équivalence de Morita, etc..) mais cela réclame beaucoup de travail.

A noter que Laurent Lafforgue donne à la fin des pistes de développement pour la théorie de Caramello qui “n’a pas encore donné de résultats aussi profonds que la correspondance de Langlands”. Et qu’il regrette que peu de chercheurs se soient assez intéressés aux topoi classifiants.