Qu’est ce qu’une propriété universelle ? y a t’il une réponse satisfaisante?

J’ai déjà parlé du site math.stackexcnange  où n’importe qui étudiant la mathématique peut poser une question et recevoir de l’aide, voici une question sur la page Wikipedia “Universal property”  que j’ai étudiée dans les deux articles précédents :

http://math.stackexchange.com/questions/63150/what-is-a-universal-property

L’internaute  qui demande de l’aide fait remarquer fort justement que la notion à définir (” Universal property”) est utilisée dans la définition:

A universal morphism from X to U […] consists of a pair (A, φ) where A is an object of D and φ: X → U(A) is a morphism in C, such that the following universal property is satisfied

et il demande  donc : ” où puis je trouver une définition concise de “propriété universelle” ? ”

Plus loin, à propos de ceux qui lui  conseillent d’étudier les exemples classiques de propriétés universelles pour “comprendre ce que c’est” et ajoutent qu’une définition concise ne serait pas très utile, il évoque Saint Augustin et sa fameuse citation sur ce qu’est le temps:

si personne ne me demande ce qu’est le temps, je sais ce que c’est; si quelqu’un me demande de le lui expliquer, je ne sais plus

mais l’idée de propriété universelle est elle analogue à l’idée de temps, qui certes peut être mathématisé mais constitue d’abord la condition même de l’existence de l’être qui parle, et démontre les théorèmes : l’être humain.

Et d’ailleurs ses interlocuteurs ne peuvent que lui rappeler que des définitions toutes équivalentes, qu’il résume ainsi en trois grandes catéegories:

An object-X-together-with-morphisms-fi has a universal property iff for every other object-Y-with-morphisms-gi from/to the same objects as the fi, there exists a unique h:X→Y such that the gi can be obtained by compositions of h and the fi.”
“A universal (mapping) property is given by an initial object in some category of maps.”
“Universal means that all homomorphisms X→G that kill N factor through G→G/N.”

Et l’interlocuteur qui vient après en clamant avoir une définition tirée de l’exemple classique des groupes abéliens  (qu’il appelle Z-modules et de la propriété universelle de factorisation apprise en théorie des groupes:

It was of course taught to me with general groups and normal subgroups, but I will for simplicity use abelian groups, which I prefer to call Z-modules. So let M be a Z-module and M′ be a sub-Z-module of M. We can define a equivalence relation R on M as follows : for m1,m2∈M we have m1Rm2 if and only m1−m2∈M′. Note M/R the quotient set, and π:M→M/R the canonical map sending an m∈M to it’s equivalence class π(m). For elements ξ1=π(m1) and ξ2=π(m2) of M/R one sets ξ1+ξ2:=π(m1+m2) and one immediately verifies that this definition does not depend on the representatives chosen for the ξi’s. For n∈Z and an element ξ=π(m) of M/R one sets nξ:=π(nm) and one immediately verifies also that this definition does not depend on the representative chosen for ξ. This two definitions give us a structure of Z-module on M/R, and we note now M/M′ this Z-module. I was taught that M/M′ and the morphism π had (I guess that they still have now) the following universal property : for each Z-module M′′ and each morphism f:M→M′′ such that M′⊆Ker(f), there exist a unique application g:M/M′→M′′ such that the following diagram is commutative:

image

se garde bien de préciser cette définition, dont on ne voit guère comment elle pourrait plus tenir de cet exemple particulier que des autres.

A noter que dans la marge de droite vous avez d’autres liens sur des questions analogues posées sur ce thème : l’universalité.

En fait je crois que finalement l’analogie avec le temps et avec la remarque de Saint Augustin est intéressante et valide, car ce mot d’universalité n’est pas semblable aux autres comme “foncteur” ou “espace vectoriel” dont on peut donner une définition concise et définitive sous forme de règles d’usage car il n’y a pas à chercher plus loin.
Avec le mot “universalité” ou “universel”, si chargé philosophiquement, c’est différent car de même que l’espace-temps désigne la condition même, dûe aux formes à priori de notre sensibilité, de notre existence dans le monde, dans le plan vital, l’universalité est la condition même de notre accès au plan de l’Idée au moyen de la recherche de la vérité.
Car la vérité ne peut être qu’universelle, sinon elle n’a plus de sens, ce n’est qu’un mot creux et vide de sens, un pur et simple “flatus vocis”.

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