Diagrammes, cônes et limites dans une catégorie

Un diagramme dans une catégorie est, intuitivement, un ensemble de points (c’est à dire d’objets de la catégorie, reliés ou non par des arêtes (c’est à dire des flèches).

Cela peut être défini rigoureusement comme un foncteur, voir cet article “Topos et hypothèse du continu” que je vous recommande de garder me mémoire, car il contient une exposition très claire du topos de Paul Cohen, inventeur de la theorie du forcing à laquelle Badiou donne une grande importance:

http://www.eleves.ens.fr/home/cagne/cagne_rapport_ter_m1.pdf

Voir paragraphe 1.3 “Diagrammes et limites” page 4 à 6

Soit J une catégorie “petite” (c’est à dire telle que la collection de ses jets et de ses flèches soient des ensembles) et C une catégorie. Dans d’autres expositions on ne se limite plus aux categories J petites.

Un diagramme de type J dans C est un foncteur de J dans C, ou encore un objet de [J,C] ou de C^J (ce qui se lit “C puissance J”).
Si X est un objet de C on peut définir un diagramme constant de type J est un foncteur qui associe X à tout objet de J et à toute flèche de J associe l’unique morphisme identité de X.
On note un tel diagramme constant:

Δ_J(X)

Un cône de sommet X sur le diagramme A est alors un morphisme (entre foncteurs, donc une transformation naturelle):

Δ_J(X) —-> A

C’est, plus intuitivement, une famille de flèches vers les différents objets ou points du diagramme, famille indexée par les objets de J donc, telles que pour tout couple d’objets i et j de J on obtienne un triangle commutatif avec les deux flèches dirigées de X vers A(i) et A(j) et la flèche

A(i) ——-> A(j)

correspondant à toute flèche dans J : i ——> j

Voir les deux figures page 5 du fichier pdf “Topos et hypothèse du continu” lien ci dessus, je ne peux pas recopier ces figures.

Une limite du diagramme A est alors un cône universel de sommet L sur A , c’est à dire tel que pour tout autre cône sur A de sommet X on ait un unique morphisme :

X ————> L
qui fasse tout commuter pour tout couple d’objets de J dans la seconde figure page 5

Voyons les pages Wikipédia qui sont moins claires et rigoureuses mais où je peux recopier les figures qui aident à la compréhension.
Il n’y a qu’une page Wiki en anglais sur les cônes:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cone_(category_theory)

les notations sont différentes , la première figure de triangle commutatif pour tout couple d’objets de J et pour le sommet du cône noté N est:

image

et la seconde pour définir le cône universel est:

image

il y a sur la notion de limite une page en anglais:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Limit_(category_theory)

et une page en français :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_(théorie_des_catégories)

Ces pages parlent aussi de colimites et de cocônes, qui sont les notions duales (on garde les mêmes objets, mais on inverse le sens des flèches) de celles de limites et de cônes.
(Se rappeler qu’une limite ou une colimite est toujours définie “à un isomorphisme près”)
Elles donnent aussi des exemples classiques de limites:
– un objet terminal est la limite pour le diagramme vide (aucun objet aucune flèche)

– le produit est la limite pour le diagramme composé de deux objets, sans flèche entre les deux, de deux points dit on aussi.
Dans le cas du topos Ens des ensembles le produit est le produit cartésien de deux ensembles. La notion duale de colimite est ce qu’on appelle la somme directe.
L’addition et la multiplication de deux nombres sont des cas particuliers des idées catégoriques de produit et de somme, et je suis convaincu qu’une théorie catégorique des nombres, ou arithmétique catégorique, verra le jour et permettra de démontrer très simplement des théorèmes comme le Grand théorème de Fermât, tout en donnant une compréhension lumineuse du pourquoi (pourquoi à partir de l’exposant n = 3 l’équation du théorème de Fermât n’a t’elle pas de solution en nombres entiers ?)
– le produit fibré (en anglais “pullback”) et sa notion duale de colimite (en anglais “pushout”).
C’est la limite pour le diagramme composé de deux flèches vers le même objet.
Voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Produit_fibré

La figure du diagramme est :

image

et celles de la propriété du cône:

image

image

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2 thoughts on “Diagrammes, cônes et limites dans une catégorie

  1. Pingback: Exponentielle, somme et produit comme limites de diagrammes en théorie des catégories | HENOSOPHIA Réforme absolue du savoir humain ενοσοφια τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια

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