Catégories enrichies

Dans une catégorie ordinaire, W la collection des morphismes entre deux objets A et B notée :

Hom (A, B) ou Mor(A,B)

est un ensemble, donc un objet  de la catégorie des ensembles Ens. (qui est un topos).

Il peut arriver que cette collection ait plus de structure qu’un simple ensemble, qu’elle soit par exemple un espace topologique, un objet donc de la catégorie Top des espaces topologiques.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

Dans ce cas on dit que la catégorie W est “enrichie sur la catégorie Top”.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Cat%C3%A9gorie_enrichie

Pour que l’on puisse définir une composition des morphismes, il faut que la catégorie M sur laquelle la catégorie W est enrichie soit une catégorie monoïdale, c’est à dire munie d’un produit tensoriel entre les objets :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Cat%C3%A9gorie_mono%C3%AFdale

c’est à dire d’un bifoncteur  ⊗

M x M ——> M

soumis à des conditions explicitées sur la page Wikipedia ci dessus. On parle alors de W comme d’une M-catégorie.

Une catégorie ordinaire est donc une Ens-catégorie.

La page du Nlab sur les catégories enrichies est comme toujours nettement plus…riche :

http://ncatlab.org/nlab/show/enriched+category

 

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