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Universal algebra in topoi

https://macsphere.mcmaster.ca/bitstream/11375/12519/1/fulltext.pdf

Il s’agit d’une thèse datant de 1973, qui illustre bien la caractère des topos d’être des “univers de pensée”, donc d’univers où il est possible de faire des mathématiques, notamment de l’algèbre.

Il se base sur les topos de Grothendieck, c’est à dire de catégories de faisceaux sur un site, et le chapitre I, page 5 à 20, constitue un bon complément, plus précis et détaille, au cours d’Olivia Caramello en vidéos que nous suivons sous #GrothendieckTopos:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

mais sans entrer dans la théorie de Caramello sur les topoi comme ponts unifiants pour la mathématique, qui commence ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/30/grothendiecktopos-5-idee-centrale-du-cours-sur-les-topoi-de-grothendieck-comme-ponts-unifiants/

Voir aussi sur le cours de Cambridge d’Olivia Caramello:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/01/autre-cours-dolivia-caramello-sur-la-theorie-des-topoi/

Le chapitre I présente les principales notions étudiées dans les cours de Caramello, topologies de Grothendieck, site, crible, faisceaux sur un site, avec des exemples à partir de la page 20 notamment page 25 un exemple tiré de la théorie de la mesure à partir d'un espace topologique : pour tout espace topologique il existe une sigma-algèbre, ou "tribu, dite tribu borélierne, engendrée par les ouverts de la topologie (la plus petite tribu contenant tous les ouverts) et l'on peut alors définir des mesures (y compris de probabilités) sur cette tribu.
Page 19 au paragraphe 4 du chapitre 1 sont expliquées les deux notions de topos : celle géométrique des topoi de Grothendiek comme catégories de faisceaux sur un site, et celle des topoi élémentaires ("elementary topos") axiomatisée par Lawvere et Tierney, qui trouve son origine plutôt dans la logique et la théorie des ensembles, un topos en ce sens étant en un sens informel une catégorie qui se comporte en gros comme la catégorie des ensembles, qui est l'exemple archétypique de topos, c'est à dire une catégorie où l'on peut former des limites (dont un cas particulier est le produit de deux objets), des classificateurs de sous-objets ( sous-ensemble dans le cas de la catégorie des Ensembles) etc…
Mais il faut d'abord passer en revue ces notions (limites, diagrammes, exponentielle, catégorie cartésienne fermée) ce sera fait bientôt..
Enfin page 31 sont expliqués les deux notions de morphismes entre topoi : géométrique et logique.
Tout ceci renvoie évidemment à la double nature, géométrique et logique, de la théorie des topoi:

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/07/30/la-nature-duale-de-la-theorie-des-topoi-geometrique-et-logique/

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