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Objet, relation et transcendantal : le formalisme de “Logiques des mondes”

Cet article fait suite à :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/06/09/les-deux-formalismes-mathematiques-de-badiou-theorie-des-ensembles-et-theorie-des-topoi/

où j’ai donné les références de “Badiou’s mistake” et de la note de David Rabouin à propos du formalisme de Badiou dans le livre “Autour de Logiques des mondes” :

“Objet, relation, transcendantal”

qui est ici, en lecture partielle seulement : l’article de Rabouin va de la page 29 à 48, il manque donc les 6 dernières pages:

Autour de Logiques des mondes

Lorsque je disais que la théorie des topoi contient celle des ensembles, puisque la catégorie des ensembles est le premier exemple de topos, je ne répondais pas à la question de la différence des deux régimes de pensée : ensembliste-ontologique et catégorique-hénologique, qui me semblent représenter au niveau mathématique ce que Brunschvicg appelle “pensée selon l’être” (pensée ontologique du multiple pur) et pensée selon l’Un (c’est à dire : selon l’unification, se situant dans l’immanence de la conscience et non de l’Un comme transcendant et séparé de la conscience, ce qui serait une contradiction dans les termes).

cetes les ensembles forment bien une catégorie (et non un ensemble, la collection “tous les ensembles” forme une classe, correspondant à une propriété : “être un ensemble”) qui est un topos, mais ils ne sont pas “pensés” de la même manière dans les deux formes de théories : la théorie des catégories met l’accent sur la relation entre structures, la théorie des ensembles met l’accent sur les éléments et leur relation d’appartenance à un ensemble, structuré ou non.

Il y a une progression historique de la pensée mathématique qui va dans le sens ;

éléments (nombres) —–> structures ——> catégories

Chez les mathématiciens de l’antiquité aussi bien que chez les Arabes et même chez Descartes on en reste au niveau des éléments, c’est à dire des nombres (entiers, fractions, irrationnels, réels, complexes) qui sont solutions d’équations, et peuvent donc repérer des points sur une courbe dans un repère cartésiens.

On ne se pose pas la question de la “collection” (de l’ensemble) de tous les nombres: entiers dits “naturels” (appartenant au monoïde N), entiers relatifs (appartenant au groupe Z qui doté de la multiplication est un anneau) , nombres rationnels (fractions) appartenant au corps Q, nombres réels appartenant au corps R et enfin nombres complexes appartenant au corps C qui est algébriquement clos.

Tous ces nombres existaient (y compris les nombres complexes, découverts par Cardan) puisqu’ils étaient solutions d’équations, mais la notion de structure (groupe, anneau , corps) n’apparaît qu’au 19 ème siècle avec les travaux de Galois, et les éléments de ces structures ne sont plus seulement des nombres (puisque la théorie des groupes commence avec la notion de groupes de symétries).

Enfin au 20 ème siècle apparaît en 1945 la notion d’espèce de structures et de catégorie comme collection de “toutes” les structures d’un type donné : catégorie Grp de tous les groupes, Ens de tous les ensembles, Vect de tous les espaces vectoriels, etc…

Il s’agit d’une révolution de pensée en ce que la théorie des catégories met l’accent sur les flèches, les morphismes, les foncteurs, les transformations naturelles qui sont les morphismes entre foncteurs, c’est à dire au fond les relations, et non pas sur les objets, c’est à dire sur les substances.

A tel point que certaines présentations de la théorie suppriment la notion d’objet, en identifiant un objet au morphisme Identité qui lui est associé d’après les axiomes de la théorie: il n’y a plus que des flèches, ce qui fait penser à la pensée de Deleuze (et de Bergson) selon laquelle il n’y a que des relations.

Or Badiou s’oppose à Deleuze qu’il situe dans la lignée vitaliste (comme Bergson) opposée à la ligne rationaliste (la sienne).

Mais que dirait il de Brunschvicg (représentant par excellence du rationalisme, tout en admirant Bergson) qui oppose les “relations de la science” dans les μαθηματα aux illusions verbeuses à base de λογοι des métaphysiques de la substance, c’est à dire la raison dynamique au verbiage dogmatique et inerte ?

Lorsque Brunschvicg dit, dans l’Introduction au “Progrès de la conscience dans la philosophie occidentale”:

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/progres_conscience_t1/progres_conscience_t1_intro.html

La philosophie contemporaine est, selon nous, une philosophie de la réflexion, qui trouve sa matière naturelle dans l’histoire de la pensée humaine. Les systèmes du XIXe siècle, même ceux qui ont fait la part la plus grande à la considération du passé, comme l’hégélianisme ou le comtisme, n’en ont pas moins conservé l’ambition de se placer et à l’origine et au terme de tout ce que les hommes comprennent ou comprendront jamais, expérimentent ou expérimenteront jamais. Nous avons appris aujourd’hui à chercher la vitalité du savoir, fût-ce du savoir positif, dans les alternatives du mouvement de l’intelligence. Vainement la science s’est flattée d’avoir assuré ses bases de telle manière qu’il lui suffise désormais d’en déduire simplement les conséquences : l’ampleur et la diversité de ces conséquences, la précision de leur confrontation avec le réel, l’ont conduite de surprise en surprise, jusqu’à l’obliger de revenir sur des axiomes qu’elle avait crus éternels. Elle a brisé les cadres consacrés par la tradition classique, et elle a fait surgir des types inattendus de principes, des formes inédites de connexion, tout ce que nous admirons enfin dans la théorie des ensembles ou dans les théories de la relativité.

(il n’ a pas pu connaître la théorie des catégories, née un an après sa mort en 1944)

il semble s’adresser à Badiou et lui reprocher son inertie, son fixisme, son obsession visant à en rester au niveau des objets, des choses, des éléments (ainsi les mathématique des topoi utilisée dans Logiques des mondes l’est à des fins de calcul quasi-phénoménologique, à propos d’objets réels de la vie courante comme un concert, de la vigne rouge sur un pan de mur, etc..mais un platonisme véritable ne vise t’il pas comme seul réel le monde des idées mathématiques, où il n’y a plus d’arbres ni des vigne rouge, mais des essences mathématiques : topoi, foncteurs, catégories, la réflexivité de la pensée mathématique revenant sur elle même et méprisant les applications au monde soi disant réel, si du moins elle doit mener à la Sagesse….

Il est vrai qu’il y aurait bien une solution permettant de garder la pensée ontologique si chère à Badiou, et que décrit David Rabouin dans sa conclusion (qui n’est hélas pas accessible sur le lien google donné ci dessus) à propos d’une onto-logie prenant le place de l’onto-logie :

une telle ontologie ne serait plus nécessairement ensembliste (au sens de l’Etre et l’évènement). Plus exactement la théorie des ensembles y prendrait une place parmi d’autres au sein de la variation des mondes (place privilégiée, non de ce qu’elle livrerait l’être, mais une forme idéalement simple de ce qu’est un monde: ce que Badiou appelle “le monde de l’ontologie” et que l’on pourrait appeler aussi bien “monde de l’identité fixe”)

C’est à dire le monde des substances, des choses, des étants auquel Badiou ne veut pas renoncer pour un monde des relations.

Certes Spinoza (et African Spir) a fait justice de cette attitude en démontrant dans l’Ethique “more geometrico” qu’il n’y a qu’une seule Substance, qu’il appelle “Deus sive Natura”.

Mais ne s’agit il pas là comme le dit Brunschvicg après Hannequin :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/leon-brunschvicg-sommes-nous-spinozistes/

du “seul exemple d’une doctrine religieuse que n’ébranle en rien la ruine de toute la construction métaphysique qui l’enveloppe” ?

(la construction métaphysique étant le lourd appareil euclidien de la Substance et des attributs, qui ne franchit pas la barrière des Alephs de Cantor, puisque “nombre infini des attributs” ne veut plus rien dire : quel infini ?)

et Rabouin poursuit sa conclusion :

ce qui en formerait le coeur ( i e : de cette nouvelle ontologie) serait la structure de faisceau comme manière d’appréhender l’espace dans lequel se meut toute pensée de l’être comme variation, ce que Badiou nomme régulièrement, sans jamais expliquer vraiment cet autre tiret curieux :

être-là

car c’est bien là le coeur du problème : qu’est ce qui “pousse” l’être à apparaître ?
et pourquoi cette puissance qui fait passer de l’être à “l’être-là” “s’exprime t’elle” comme localisation?
pourquoi ce secret retour de l’espace, là où ensembles et catégories auraient dû nous offrir (c’est ce qu’ils promettaient) d’autres modes de représentation, plus purs et plus généraux

ce qui mène il me semble à Grothendieck et au retour du géométrique dans la théorie des faisceaux et des topoi, seulement ici il ne s’agit pas de la géométrie d’avant Descartes…

comme le dit Laurent Lafforgue dans le lien que j’ai déjà commenté sur “Simone Weil et la mathématique”…mais Badiou ne semble pas être un “fan” de Simone Weil:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/03/simone-weil-et-la-mathematique/

et

http://www.ihes.fr/~lafforgue/textes/SimoneWeilMathematique.pdf

Quant à Grothendieck, Laurent Lafforgue, qui connait son sujet, dit plus loin (page 7) que « l’oeuvre merveilleusement géométrique et conceptuelle d’un autre géant des mathématiques de notre temps, Alexandre Grothendieck, n’est pas sans faire écho à certaines intuitions de Simone Weil

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