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Valeurs de vérité dans un topos

Commençons par le cas classique : il y a deux valeurs de vérité, vrai ou faux, vrai correspond à 1 et faux à 0.
L’ensemble des valeurs de vérité est donc l’ensemble {0,1}. Ceci correspond au topos des ensembles noté Ens ou en anglais Set.
C’est la catégorie dont les objets sont les ensembles, et les morphismes, ou flèches, entre deux ensembles sont les fonctions entre ces deux ensembles:

f : X ——-> Y

telles que pour tout élément x ∊ X il existe un unique y ∊ Y :

y = f(x)

Ces fonctions peuvent se décrire par l’ensemble des paires ordonnées:

{(x, f(x) / x ∊ X}

Dans un topos général, qui ne sera pas forcément le topos Ens, l’analogue de l’ensemble {0,1} sera le classificateur de sous-objets Ω que Badiou appelle “transcendantal” dans “Logiques des mondes” et qui est parfois appelé objet-vérité (“Truth object”) ou objet des valeurs de vérité.

Voir cette entrée du nlab:

http://ncatlab.org/nlab/show/truth+value

Dans la catégorie des ensembles soit un ensemble X quelconque : ses éléments pourront être identifiés aux flèches (qui dans la catégorie des ensembles sont les fonctions):

1 ———> X

Où 1 est l’objet terminal, c’est à dire l’objet tel qu’il existe pour tout objet A une seule flèche :

A ———–> 1

Dans Ens n’importe quel ensemble à un seul élément est objet terminal : on vérifie alors immédiatement qu’une fonction 1 —–> X sélectionne un élément et un seul de l’ensemble X : le correspondant de l’unique élément de 1 par cette fonction.

Dans un topos on a toujours un objet terminal 1 (on démontre facilement que les objets terminaux sont tous isomorphes, un isomorphisme étant une flèche inversible, définis comme on dit “à un isomorphisme près”).

Les éléments de l’objet Ω sont donc les flèches :

1 ———-> Ω

Dans tout topos, l’ensemble ordonne, des valeurs de vérité possède une structure d’algèbre de Heyting:

http://ncatlab.org/nlab/show/Heyting+algebra