Tag Archives: Foncteur

Action d’un foncteur sur une transformation

Nous avons déjà rencontré ce cours “Groupoides quantiques et logiques tensorielles” à propos de l’adjonction et des 2-catégories:

http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~mellies/slides/ed-cours-2.pdf

Page 5 à 8 il constitue un bon résumé sur les catégories et foncteurs.

Page 9 il explique la notion de “transformation”, qui est plus générale que celle de transformation naturelle à laquelle nous avons consacré cet article:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/
C’est simple : une transformation entre deux foncteurs F et G reliant les deux mêmes catégories A et B:

F, G : A ——————-> B

est une famille de flèches θ dans la catégorie cible B qui est indexée par les objets a de la catégorie source A, ces morphismes étant (pour tout objet a variant dans A:

θ_a : Fa ————–> Ga

( Fa et Ga sont des objets de B, correspondants de a par les foncteurs F et G)

La condition de commutativité des carrés pour que la transformation soit naturelle est expliquée page 20

Mais il existe une notion plus générale que les 2-catégories, les sesqui-catégories où les 2-morphismes sont les transformations : une 2-catégorie est une sesqui-catégorie où les transformations entre foncteurs sont naturelles.

Voir page 18 à 22 sur les sesqui-catégories.

On peut composer deux foncteurs si la catégorie source du second est la catégorie cible du premier.
On peut composer deux transformations, de deux manières, comme tout 2-morphisme: horizontale et verticale.

Mais on peut aussi “composer” un foncteur et une transformation (naturelle ou non), cela s’appelle action d’un foncteur sur une transformation, et il y en a de deux sortes : action à droite et action à gauche. Une action d’un foncteur sur une transformation donne une nouvelle transformation.

L’action à gauche est expliquée page 11 à 13: elle est le fait d’un foncteur :

H : B ————> C

se “composant” avec une transformation θ entre deux foncteurs (avec lesquels H peut se composer aussi)

F,G : A ————> B

Ce ne peut être qu’une transformation entre les deux foncteurs composés allant de A vers C, résultant de la composition de H après F et de H après G:

H ° F et H ° G : A ————> C

C’est tout simplement la transformation dont les “composantes” pour chaque objet a de la catégorie A, qui doivent être des morphisme sur dans C, sont données par:

H ° θ_a : H ° F(a) ———> H ° G(a)

Généralement les livres n’expliquent pas cette composition, considérant que c’est évident, et c’est effectivement la seule solution…mais je considère que cela va mieux en le disant ou plutôt en l’écrivant explicitement.

L’action à droite est expliquée pareillement page 14 à 16, en remplaçant simplement H ° F et H ° G par F ° H et G ° H puisque le foncteur H est maintenant situé “avant”, allant de A à B , et les deux foncteurs reliés par la transformation θ vont de B à C

A. —– H —–> B ——-F,G,θ——–> C

A noter que le texte ne parle que des compositions verticales de transformations.

Et page 17 est écrite une sorte d'”associativité” ( mais qui n’en est pas vraiment une puisqu’il s’agit de deux opérations : action à gauche et action à droite)

Advertisements