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Adjonction 1: foncteurs adjoints

L’adjonction est une notion générale qui trouve son cadre dans les 2-catégories, mais commençons par la définition d’une paire de foncteurs adjoints.

Voir le cours suivant page 29-30

http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~mellies/slides/ed-cours-2.pdf

Soient deux catégories C et D (la notation du texte est malheureuse parce qu’on peut confondre les objets avec les catégories donc j’appelle les objets À et B comme dans le lien, mais les catégories C et C) et deux foncteurs L et R en sens inverse:

L : C ————-> D

R : D ————-> C

Soit A un objet de la catégorie C et B un objet de D : alors l’objet LA est l’objet de la catégorie D correspondant à A par le foncteurs L et RB est l’objet de la catégorie C correspondant à B par le foncteurs R.

Dans la catégorie C on peut considérer la collection (qui est un ensemble) des flèches entre les deux objets À et RB, on note cet ensemble :

C(A, RB)

De même dans la catégorie D on a l’ensemble:

D(LA,B)

des morphismes sur (ou flèches) entre les deux objets de D : LA et B.
On dit que les foncteurs L et R sont une paire de foncteurs adjoints s’il existe une bijection entre ces deux ensembles de flèches ce que l’on note:

D(LA,B) ≅ C(A,RB)

L est dit adjoint à gauche (L comme left en anglais) et R (comme right en anglais) est dit adjoint à droite ce qui se note:

L ⊣ R

Une bijection entre ces deux ensembles cela signifie qu’on a une fonction bijective entre les deux : par cette fonction on peut faire correspondre à toute flèche allant de LA à B dans la catégorie D une flèche unique allant de A à RB dans la catégorie C, et en sens inverse on peut faire correspondre à toute flèche allant de A à RB une flèche unique allant de LA à B
Pour des ensembles finis, vous pouvez trouver une bijection entre les deux si et seulement s’ils ont le même nombre d’éléments: si vous avez 6 pommes et 6 bananes ça marche..mais vous ne pouvez pas si vous avez 3 pommes et 5 bananes.

Vous devez avoir ces bijections pour tout couple d’objet A de la catégorie C et d’objet B de la catégorie D. On doit donc avoir des bijections indexées par les objets A de la catégorie C et B de la catégorie D, ce que le texte note en page 29 par la lettre grecque:

φ

Indexée par A,B (où A peut prendre toutes les valeurs d’objet de C et B toutes les valeurs d’objets de D)

(je n’arrive pas à répéter sur WordPress cette notation avec des indices ou avec des exposants)

Mais cela ne suffit pas : ces bijections, pour tout couple d’objet À de C et B de D doivent être naturelles ce qui est expliqué page 30.

Le premier diagramme commutatif (celui du haut de la page 30) se situe dans la catégorie D, il doit être transformé par les bijections φ indexées par A et B en le second diagramme (bas de la page 30) qui doit être commutatif.

Seulement ce n’est pas clair du tout (ce cours s’adresse à des étudiants déjà formés à la théorie des catégories) et de plus

il y a une erreur

:

Dans le diagramme du haut de la page 30 on doit lire dans le coin en bas à droite du carré:


B’ et non pas RB’

Prenez la page Wikipedia pour les foncteurs adjoints:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur_adjoint

elle dit:

Soient C et D deux catégories, et F : C → D et G : D → C deux foncteurs. On dit que


F est adjoint à gauche de G et G est adjoint à droite de F
si pour tout objet X de C et Y de D, il existe une bijection, naturelle en chaque variable
:

image

et si vous cliquez sur “naturelle” vous allez sur la page Wiki des transformations naturelles:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

Une transformation naturelle entre deux foncteurs F et G allant de C vers D est définie par une collection de flèches dans la catégorie cible D indexées par les objets X de la catégorie source C
La naturalité signifie que pour toute flèche :

f : X ——–> Y dans la catégorie C le carré suivant est commutatif:

image

Seulement là il n’y a qu’un seul indice : dans le cas de l’adjonction les bijections φ sont indexées par un couple d’indices ce qui fait que vous devez avoir deux carrés commutatifs, puisqu’il y deux indices, et c’est ce que vous avez page 30 de:

http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~mellies/slides/ed-cours-2.pdf

une fois corrigée la malencontreuse erreur de frappe que j’ai signalée: il faut remplacer RB’ par B’ dans le diagramme du haut

Le morphisme A’ vers A joue le même rôle que celui de X vers Y (remplacez Y par X’ si vous voulez) pour les transformations naturelles : il va de A’vers A et non de A vers A’ car l’indice A est à gauche, par contre le morphisme du second indice va de B vers B’.
Et cette commutativité doit se produire pour tous les couples d’indices A et B, et pour tous les morphismes

A’ vers A dans C

et
B vers B’ dans la catégorie D

La commutativité du diagramme veut dire que tous les chemins possibles liant deux objets sont égaux.

Par exemple dans le carré du haut (en corrigeant l’erreur et remplaçant RB’ par B’ en bas à droite du carré)
Vous avez deux chemins pour aller de LA’ (en bas à gauche) à B’ (et non pas RB’) en bas à droite :

Soit la flèche f du bas
Soit la composée des trois flèches de LA’ à LA, puis la flèche g de LA à B (en haut) puis enfin la flèche qui descend de B à B’ (et non pas RB’, erreur de frappe à corriger) à droite.

La composée de ces trois flèches doit être égale à la flèche f : c’est cela que signifie “commutativité”

Je me rends compte que cela doit être difficile pour les personnes qui ne sont pas déjà familiarisée aussi y reviendrai je souvent dans les 4 ou 5 ( en comptant celui sur Descartes) blogs “Henosophia Τοποσοφια οντοποσοφια μαθεσις uni√ersalis ενοσοφια”

car ces notions de base (transformations naturelles, foncteurs, adjonctions, catégories et 2-catégories) sont cruciales pour la suite.
Je veux ici répéter qu’il n’y pas de personnes mauvaises en maths : simplement ces personnes “se braquent” à la suite d’une mésaventure (avec un professeur méprisant par exemple) et refusent tout effort.
Or il faut de gros effort en mathématiques.
Par contraste, tout le monde n’est pas capable de comprendre la poésie de Mallarmé.
Très peu d’occidentaux (et même d’hindous) peuvent comprendre les Upanishads, même si elles lisent le sanskrit.
Inversement un asiatique, même cultivé, aura du mal à lire “La recherche du temps perdu”

ce qui se résume en :

Seule la mathématique et la science véritable, mathématisable et mathématisée (ce qui exclut l’économie à mon avis) est UNIVERSELLE.
Les arts (littérature, poésie, peinture, musique) ne le sont pas, ni les religions

Transformations naturelles

Les foncteurs sont des flèches qui relient deux catégories, des “morphismes entre catégories”:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur

tels que tout objet de la catégorie de départ à un correspondant parmi les objets de la catégorie d’arrivée, et que la structure est respectée : un morphisme qui relie deux objets A et B de la catégorie de départ aura comme correspondant un morphisme qui relie les correspondants de A et B dans la catégorie d’arrivée.
Les morphisme identités sont envoyés sur les morphismes identités, le composée de deux flèches sur le composé des deux flèches correspondantes:

F(fg) = F(f)F(g)

Bref un foncteur entre deux catégories est l’analogie d’une fonction entre deux ensembles, sauf que dans ce dernier cas il n’y a pas de structure à respecter car il n’y a pas de flèches.

D’ailleurs un ensemble est un cas particulier de catégorie, où il n’y a pas de flèches entre les objets (qui sont les éléments de l’ensemble) sauf que l’on garde les morphismes identité qui sont identifiés aux objets : un foncteur est alors une fonction entre les deux ensembles vus comme catégories.

En mathématiques (comme dans toutes les sciences ou savoirs véritables) il y a progression des connaissances sans remettre en cause les anciens savoirs à condition qu’ils soient véritables.
Ainsi la notion de foncteur généralise et “dépasse en conservant” (Aufhebung) celle de fonction sans la remettre en cause.

De même toute révolution scientifique, comme la Relativité einsteinienne, dépasse en conservant la physique newtonienne, qui reste valable dans les limites qui lui sont dévolues (vitesses faibles par rapport à la vitesse de la lumière).

Par contre la physique newtonienne ne dépasse pas ni ne réfute la physique aristotélicienne car cette dernière n’est pas scientifique.

Une telle progression qui dépasse en conservant devrait aussi exister en philosophie si celle ci s’était maintenue dans son cadre véritable qui est l’idéalisme mathématisant de Platon pour s’acheminer vers un statut de science rigoureuse comme le souhaitait Husserl.

Par contre en matière de religions il n’y a pas de progression, mais une religion prend la place des autres en interdisant leurs cultes au moyen de génocides, comme ce fut le cas pour les païens, ou pour les cathares.
Mais revenons aux foncteurs…

Les morphismes entre foncteurs sont les transformations naturelles (naturel transformations):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

Une transformation naturelle entre deux foncteurs F et G qui relient deux catégories C et D consiste en la donnée pour chaque objet X de la catégorie de départ C d’un morphisme de la catégorie d’arrivée D.

F: C ————> D

G: C ————> D

Ainsi au lieu d’envoyer un objet de C sur un objet de D, une transformation naturelle :

η : F. ———–> G

Envoie chaque objet X de C sur un morphisme de D reliant F(X) à G(X)

image

tel que le carré suivant soit commutatif:

image

Le carré est commutatif : cela veut dire que la flèche résultant de la composition de la flèche du haut suivie de la flèche descendante de droite est égale à celle qui résulte de la composition de la flèche descendante de gauche suivie de la flèche du bas.

La notion de diagramme (réseau d’objets et de flèches) commutatif est fondamentale en théorie des catégories :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Diagram_(category_theory)

(il n’y a pas de page Wiki en français pour les diagrammes et les limites)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_catégories