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Transformations naturelles

Les foncteurs sont des flèches qui relient deux catégories, des “morphismes entre catégories”:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur

tels que tout objet de la catégorie de départ à un correspondant parmi les objets de la catégorie d’arrivée, et que la structure est respectée : un morphisme qui relie deux objets A et B de la catégorie de départ aura comme correspondant un morphisme qui relie les correspondants de A et B dans la catégorie d’arrivée.
Les morphisme identités sont envoyés sur les morphismes identités, le composée de deux flèches sur le composé des deux flèches correspondantes:

F(fg) = F(f)F(g)

Bref un foncteur entre deux catégories est l’analogie d’une fonction entre deux ensembles, sauf que dans ce dernier cas il n’y a pas de structure à respecter car il n’y a pas de flèches.

D’ailleurs un ensemble est un cas particulier de catégorie, où il n’y a pas de flèches entre les objets (qui sont les éléments de l’ensemble) sauf que l’on garde les morphismes identité qui sont identifiés aux objets : un foncteur est alors une fonction entre les deux ensembles vus comme catégories.

En mathématiques (comme dans toutes les sciences ou savoirs véritables) il y a progression des connaissances sans remettre en cause les anciens savoirs à condition qu’ils soient véritables.
Ainsi la notion de foncteur généralise et “dépasse en conservant” (Aufhebung) celle de fonction sans la remettre en cause.

De même toute révolution scientifique, comme la Relativité einsteinienne, dépasse en conservant la physique newtonienne, qui reste valable dans les limites qui lui sont dévolues (vitesses faibles par rapport à la vitesse de la lumière).

Par contre la physique newtonienne ne dépasse pas ni ne réfute la physique aristotélicienne car cette dernière n’est pas scientifique.

Une telle progression qui dépasse en conservant devrait aussi exister en philosophie si celle ci s’était maintenue dans son cadre véritable qui est l’idéalisme mathématisant de Platon pour s’acheminer vers un statut de science rigoureuse comme le souhaitait Husserl.

Par contre en matière de religions il n’y a pas de progression, mais une religion prend la place des autres en interdisant leurs cultes au moyen de génocides, comme ce fut le cas pour les païens, ou pour les cathares.
Mais revenons aux foncteurs…

Les morphismes entre foncteurs sont les transformations naturelles (naturel transformations):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

Une transformation naturelle entre deux foncteurs F et G qui relient deux catégories C et D consiste en la donnée pour chaque objet X de la catégorie de départ C d’un morphisme de la catégorie d’arrivée D.

F: C ————> D

G: C ————> D

Ainsi au lieu d’envoyer un objet de C sur un objet de D, une transformation naturelle :

η : F. ———–> G

Envoie chaque objet X de C sur un morphisme de D reliant F(X) à G(X)

image

tel que le carré suivant soit commutatif:

image

Le carré est commutatif : cela veut dire que la flèche résultant de la composition de la flèche du haut suivie de la flèche descendante de droite est égale à celle qui résulte de la composition de la flèche descendante de gauche suivie de la flèche du bas.

La notion de diagramme (réseau d’objets et de flèches) commutatif est fondamentale en théorie des catégories :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Diagram_(category_theory)

(il n’y a pas de page Wiki en français pour les diagrammes et les limites)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_catégories