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#HigherToposTheory 9: Jacob Lurie étudie (∞, 1)Cat la (∞, 2)-catégorie de toutes les (∞,1)-catégories  (petites)

Nous avons démontré ici que CAT la (méta)catégories de toutes les catégories est (l’Idée de) l’Un, ou “monde des Idées” de Platon , cadre de ce que nous appelons “nouvelle science internelle des Idées” et dont nous avons formé le projet:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/10/09/la-science-du-graal/
Cependant nous devons suivre le mouvement contemporain de la mathématique dont nous sommes absolument tributaires :” il nous faut désormais armer la Sagesse” :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/11/05/nous-tacherons-demain-darmer-la-sagesse/

qui ne peut plus être la vocation exclusive des anachorètes, des solitaires, des “Zarathoustra sur la montagne”…Zarathoustra doit “décliner “, descendre dans la plaine, rejoindre la collectivité des patients et désintéressés “travailleurs” (du concept ou du mathème ).

Or ce mouvement contemporain de la Science se nomme :catégorification

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Categorification

et c’est lui qui nous oblige à dépasser CAT , ou plutôt à l’habiller des nouveaux vêtements de la “Higher category theory “:

Les catégories deviennent les ∞-catégories, qui sont, pour nous caler sur la terminologie de Lurie, les (∞,1)-catégories, c’est à dire dont TOUS les k-morphismes (flèches entre les (k-1)-morphismes) sont inversibles pour 1<k<∞.
Dans son livre “Higher topos theory” :

https://ncatlab.org/nlab/show/Higher+Topos+Theory#3_the_category_of_categories

et, pour le texte intégral:
http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf, Lurie explique au chapitre 3, à partir de la page 145, ce qu’est la collection de toutes les ∞-catégories, et d’abord il démontre que c’est une ∞-catégorie. Il le fait de manière fort subtile, à partir du lourd appareil des catégories simpliciales, complexes de Kan et autres quasi-catégories que nous nous sommes déjà décarcassés à commencer d’étudier dans les derniers articles du hashtag #HigherToposTheory :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/12/05/highertopostheory-8-definitions-equivalentes-pour-les-∞1-categories/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/12/03/highertopostheory-7-larchitecture-des-mathematiques/

Mais, comme je l’ai précisé dans l’article 8, nous devons éviter toute précipitation, monter trop haut trop vite en oubliant les détails, sacrifier la rigueur mathématique à l’ivresse de la “montée vers l’Absolu” (Lautman): une telle ivresse, forcément préjudiciable, car risquant se se perdre dans une “profondeur vide”,  serait dûe à l’intuition (plutôt que la constatation) que le candidat pour prendre la place de CAT comme “nouveau CIEL de l’Idée” pourrait bien être cette ∞-catégorie de toutes les ∞-catégories (petites) .

Jacob Lurie semble lui même cependant évoquer un cadre plus grand, page 146, remark 3.0.0.5:”dans les derniers chapitres de ce livre il sera nécessaire d’entreprendre l’étude des ∞-catégories qui ne sont pas “petites”” et il prévoit une autre notation pour cet autre ∞-catégorie des ∞-catégories (petites ou non, rappelons qu’une catégorie est dite petite si la collection des morphismes est un ensemble, et non une classe)
Néanmoins je signale ici dès maintenant les liens des pages du Nlab sur ces  ∞-catégories de toutes les ∞-catégories petites, elles ne sont pas tout à fait calées sur le chapitre 3 du livre de Lurie car elles ne reprennent pas l’appareil des catégories simpliciales, mais elles ont l’avantage de donner dès à présent le coup d’œil unitif  qui est le terme visé:

La page sur l’ ∞-catégorie de toutes les (∞,1)-catégories : c’est une (∞,2)-catégorie qui est notée dans le Nlab :

(∞,1)Cat 

voir:

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29Cat

et voir aussi la page qui va avec:

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-category+of+%28infinity%2C1%29-categories
C’est une (∞,2)-catégorie :

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C2%29-category

car les morphismes entre ses objets , qui sont les (∞,1)-catégories, ne sont pas forcément inversibles , on obtient donc une ∞-catégorie pour laquelle les k-morphismes sont inversibles pour k>2 et non pas pour k>1
A signaler aussi cet article :

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/foundations.pdf
sur  le cadre possible de la théorie des 2-catégories pour les quasi-catégories ou logoi  de Joyal (qui sont les ∞-catégories)
Last but not least je rappelle aussi cette page précieuse entre toutes:

https://ncatlab.org/nlab/show/Higher+Topos+Theory
qui donne une vision d’ensemble du livre de Lurie  et facilite son accès, voir en particulier “How to read the book ” contenant le paragraphe 5 “sections with crucial concepts” : ce sont les sections 1.1, 5.1, 6.1, 6.2 et 6.5

D’une manière générale les deux chapitres les plus important sont le 3 et le 6, qui porte sur l’objet du livre:  les ∞-topoi 

A noter la section 6.3 sur l’ ∞-catégorie de tous les ∞-topoi

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Transformations naturelles

Les foncteurs sont des flèches qui relient deux catégories, des “morphismes entre catégories”:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur

tels que tout objet de la catégorie de départ à un correspondant parmi les objets de la catégorie d’arrivée, et que la structure est respectée : un morphisme qui relie deux objets A et B de la catégorie de départ aura comme correspondant un morphisme qui relie les correspondants de A et B dans la catégorie d’arrivée.
Les morphisme identités sont envoyés sur les morphismes identités, le composée de deux flèches sur le composé des deux flèches correspondantes:

F(fg) = F(f)F(g)

Bref un foncteur entre deux catégories est l’analogie d’une fonction entre deux ensembles, sauf que dans ce dernier cas il n’y a pas de structure à respecter car il n’y a pas de flèches.

D’ailleurs un ensemble est un cas particulier de catégorie, où il n’y a pas de flèches entre les objets (qui sont les éléments de l’ensemble) sauf que l’on garde les morphismes identité qui sont identifiés aux objets : un foncteur est alors une fonction entre les deux ensembles vus comme catégories.

En mathématiques (comme dans toutes les sciences ou savoirs véritables) il y a progression des connaissances sans remettre en cause les anciens savoirs à condition qu’ils soient véritables.
Ainsi la notion de foncteur généralise et “dépasse en conservant” (Aufhebung) celle de fonction sans la remettre en cause.

De même toute révolution scientifique, comme la Relativité einsteinienne, dépasse en conservant la physique newtonienne, qui reste valable dans les limites qui lui sont dévolues (vitesses faibles par rapport à la vitesse de la lumière).

Par contre la physique newtonienne ne dépasse pas ni ne réfute la physique aristotélicienne car cette dernière n’est pas scientifique.

Une telle progression qui dépasse en conservant devrait aussi exister en philosophie si celle ci s’était maintenue dans son cadre véritable qui est l’idéalisme mathématisant de Platon pour s’acheminer vers un statut de science rigoureuse comme le souhaitait Husserl.

Par contre en matière de religions il n’y a pas de progression, mais une religion prend la place des autres en interdisant leurs cultes au moyen de génocides, comme ce fut le cas pour les païens, ou pour les cathares.
Mais revenons aux foncteurs…

Les morphismes entre foncteurs sont les transformations naturelles (naturel transformations):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

Une transformation naturelle entre deux foncteurs F et G qui relient deux catégories C et D consiste en la donnée pour chaque objet X de la catégorie de départ C d’un morphisme de la catégorie d’arrivée D.

F: C ————> D

G: C ————> D

Ainsi au lieu d’envoyer un objet de C sur un objet de D, une transformation naturelle :

η : F. ———–> G

Envoie chaque objet X de C sur un morphisme de D reliant F(X) à G(X)

image

tel que le carré suivant soit commutatif:

image

Le carré est commutatif : cela veut dire que la flèche résultant de la composition de la flèche du haut suivie de la flèche descendante de droite est égale à celle qui résulte de la composition de la flèche descendante de gauche suivie de la flèche du bas.

La notion de diagramme (réseau d’objets et de flèches) commutatif est fondamentale en théorie des catégories :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Diagram_(category_theory)

(il n’y a pas de page Wiki en français pour les diagrammes et les limites)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_catégories