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Diagrammes, cônes et limites dans une catégorie

Un diagramme dans une catégorie est, intuitivement, un ensemble de points (c’est à dire d’objets de la catégorie, reliés ou non par des arêtes (c’est à dire des flèches).

Cela peut être défini rigoureusement comme un foncteur, voir cet article “Topos et hypothèse du continu” que je vous recommande de garder me mémoire, car il contient une exposition très claire du topos de Paul Cohen, inventeur de la theorie du forcing à laquelle Badiou donne une grande importance:

http://www.eleves.ens.fr/home/cagne/cagne_rapport_ter_m1.pdf

Voir paragraphe 1.3 “Diagrammes et limites” page 4 à 6

Soit J une catégorie “petite” (c’est à dire telle que la collection de ses jets et de ses flèches soient des ensembles) et C une catégorie. Dans d’autres expositions on ne se limite plus aux categories J petites.

Un diagramme de type J dans C est un foncteur de J dans C, ou encore un objet de [J,C] ou de C^J (ce qui se lit “C puissance J”).
Si X est un objet de C on peut définir un diagramme constant de type J est un foncteur qui associe X à tout objet de J et à toute flèche de J associe l’unique morphisme identité de X.
On note un tel diagramme constant:

Δ_J(X)

Un cône de sommet X sur le diagramme A est alors un morphisme (entre foncteurs, donc une transformation naturelle):

Δ_J(X) —-> A

C’est, plus intuitivement, une famille de flèches vers les différents objets ou points du diagramme, famille indexée par les objets de J donc, telles que pour tout couple d’objets i et j de J on obtienne un triangle commutatif avec les deux flèches dirigées de X vers A(i) et A(j) et la flèche

A(i) ——-> A(j)

correspondant à toute flèche dans J : i ——> j

Voir les deux figures page 5 du fichier pdf “Topos et hypothèse du continu” lien ci dessus, je ne peux pas recopier ces figures.

Une limite du diagramme A est alors un cône universel de sommet L sur A , c’est à dire tel que pour tout autre cône sur A de sommet X on ait un unique morphisme :

X ————> L
qui fasse tout commuter pour tout couple d’objets de J dans la seconde figure page 5

Voyons les pages Wikipédia qui sont moins claires et rigoureuses mais où je peux recopier les figures qui aident à la compréhension.
Il n’y a qu’une page Wiki en anglais sur les cônes:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cone_(category_theory)

les notations sont différentes , la première figure de triangle commutatif pour tout couple d’objets de J et pour le sommet du cône noté N est:

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et la seconde pour définir le cône universel est:

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il y a sur la notion de limite une page en anglais:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Limit_(category_theory)

et une page en français :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_(théorie_des_catégories)

Ces pages parlent aussi de colimites et de cocônes, qui sont les notions duales (on garde les mêmes objets, mais on inverse le sens des flèches) de celles de limites et de cônes.
(Se rappeler qu’une limite ou une colimite est toujours définie “à un isomorphisme près”)
Elles donnent aussi des exemples classiques de limites:
– un objet terminal est la limite pour le diagramme vide (aucun objet aucune flèche)

– le produit est la limite pour le diagramme composé de deux objets, sans flèche entre les deux, de deux points dit on aussi.
Dans le cas du topos Ens des ensembles le produit est le produit cartésien de deux ensembles. La notion duale de colimite est ce qu’on appelle la somme directe.
L’addition et la multiplication de deux nombres sont des cas particuliers des idées catégoriques de produit et de somme, et je suis convaincu qu’une théorie catégorique des nombres, ou arithmétique catégorique, verra le jour et permettra de démontrer très simplement des théorèmes comme le Grand théorème de Fermât, tout en donnant une compréhension lumineuse du pourquoi (pourquoi à partir de l’exposant n = 3 l’équation du théorème de Fermât n’a t’elle pas de solution en nombres entiers ?)
– le produit fibré (en anglais “pullback”) et sa notion duale de colimite (en anglais “pushout”).
C’est la limite pour le diagramme composé de deux flèches vers le même objet.
Voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Produit_fibré

La figure du diagramme est :

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et celles de la propriété du cône:

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Qu’est ce qu’une propriété universelle ? y a t’il une réponse satisfaisante?

J’ai déjà parlé du site math.stackexcnange  où n’importe qui étudiant la mathématique peut poser une question et recevoir de l’aide, voici une question sur la page Wikipedia “Universal property”  que j’ai étudiée dans les deux articles précédents :

http://math.stackexchange.com/questions/63150/what-is-a-universal-property

L’internaute  qui demande de l’aide fait remarquer fort justement que la notion à définir (” Universal property”) est utilisée dans la définition:

A universal morphism from X to U […] consists of a pair (A, φ) where A is an object of D and φ: X → U(A) is a morphism in C, such that the following universal property is satisfied

et il demande  donc : ” où puis je trouver une définition concise de “propriété universelle” ? ”

Plus loin, à propos de ceux qui lui  conseillent d’étudier les exemples classiques de propriétés universelles pour “comprendre ce que c’est” et ajoutent qu’une définition concise ne serait pas très utile, il évoque Saint Augustin et sa fameuse citation sur ce qu’est le temps:

si personne ne me demande ce qu’est le temps, je sais ce que c’est; si quelqu’un me demande de le lui expliquer, je ne sais plus

mais l’idée de propriété universelle est elle analogue à l’idée de temps, qui certes peut être mathématisé mais constitue d’abord la condition même de l’existence de l’être qui parle, et démontre les théorèmes : l’être humain.

Et d’ailleurs ses interlocuteurs ne peuvent que lui rappeler que des définitions toutes équivalentes, qu’il résume ainsi en trois grandes catéegories:

An object-X-together-with-morphisms-fi has a universal property iff for every other object-Y-with-morphisms-gi from/to the same objects as the fi, there exists a unique h:X→Y such that the gi can be obtained by compositions of h and the fi.”
“A universal (mapping) property is given by an initial object in some category of maps.”
“Universal means that all homomorphisms X→G that kill N factor through G→G/N.”

Et l’interlocuteur qui vient après en clamant avoir une définition tirée de l’exemple classique des groupes abéliens  (qu’il appelle Z-modules et de la propriété universelle de factorisation apprise en théorie des groupes:

It was of course taught to me with general groups and normal subgroups, but I will for simplicity use abelian groups, which I prefer to call Z-modules. So let M be a Z-module and M′ be a sub-Z-module of M. We can define a equivalence relation R on M as follows : for m1,m2∈M we have m1Rm2 if and only m1−m2∈M′. Note M/R the quotient set, and π:M→M/R the canonical map sending an m∈M to it’s equivalence class π(m). For elements ξ1=π(m1) and ξ2=π(m2) of M/R one sets ξ1+ξ2:=π(m1+m2) and one immediately verifies that this definition does not depend on the representatives chosen for the ξi’s. For n∈Z and an element ξ=π(m) of M/R one sets nξ:=π(nm) and one immediately verifies also that this definition does not depend on the representative chosen for ξ. This two definitions give us a structure of Z-module on M/R, and we note now M/M′ this Z-module. I was taught that M/M′ and the morphism π had (I guess that they still have now) the following universal property : for each Z-module M′′ and each morphism f:M→M′′ such that M′⊆Ker(f), there exist a unique application g:M/M′→M′′ such that the following diagram is commutative:

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se garde bien de préciser cette définition, dont on ne voit guère comment elle pourrait plus tenir de cet exemple particulier que des autres.

A noter que dans la marge de droite vous avez d’autres liens sur des questions analogues posées sur ce thème : l’universalité.

En fait je crois que finalement l’analogie avec le temps et avec la remarque de Saint Augustin est intéressante et valide, car ce mot d’universalité n’est pas semblable aux autres comme “foncteur” ou “espace vectoriel” dont on peut donner une définition concise et définitive sous forme de règles d’usage car il n’y a pas à chercher plus loin.
Avec le mot “universalité” ou “universel”, si chargé philosophiquement, c’est différent car de même que l’espace-temps désigne la condition même, dûe aux formes à priori de notre sensibilité, de notre existence dans le monde, dans le plan vital, l’universalité est la condition même de notre accès au plan de l’Idée au moyen de la recherche de la vérité.
Car la vérité ne peut être qu’universelle, sinon elle n’a plus de sens, ce n’est qu’un mot creux et vide de sens, un pur et simple “flatus vocis”.