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Diagrammes, cônes et limites dans une catégorie

Un diagramme dans une catégorie est, intuitivement, un ensemble de points (c’est à dire d’objets de la catégorie, reliés ou non par des arêtes (c’est à dire des flèches).

Cela peut être défini rigoureusement comme un foncteur, voir cet article “Topos et hypothèse du continu” que je vous recommande de garder me mémoire, car il contient une exposition très claire du topos de Paul Cohen, inventeur de la theorie du forcing à laquelle Badiou donne une grande importance:

http://www.eleves.ens.fr/home/cagne/cagne_rapport_ter_m1.pdf

Voir paragraphe 1.3 “Diagrammes et limites” page 4 à 6

Soit J une catégorie “petite” (c’est à dire telle que la collection de ses jets et de ses flèches soient des ensembles) et C une catégorie. Dans d’autres expositions on ne se limite plus aux categories J petites.

Un diagramme de type J dans C est un foncteur de J dans C, ou encore un objet de [J,C] ou de C^J (ce qui se lit “C puissance J”).
Si X est un objet de C on peut définir un diagramme constant de type J est un foncteur qui associe X à tout objet de J et à toute flèche de J associe l’unique morphisme identité de X.
On note un tel diagramme constant:

Δ_J(X)

Un cône de sommet X sur le diagramme A est alors un morphisme (entre foncteurs, donc une transformation naturelle):

Δ_J(X) —-> A

C’est, plus intuitivement, une famille de flèches vers les différents objets ou points du diagramme, famille indexée par les objets de J donc, telles que pour tout couple d’objets i et j de J on obtienne un triangle commutatif avec les deux flèches dirigées de X vers A(i) et A(j) et la flèche

A(i) ——-> A(j)

correspondant à toute flèche dans J : i ——> j

Voir les deux figures page 5 du fichier pdf “Topos et hypothèse du continu” lien ci dessus, je ne peux pas recopier ces figures.

Une limite du diagramme A est alors un cône universel de sommet L sur A , c’est à dire tel que pour tout autre cône sur A de sommet X on ait un unique morphisme :

X ————> L
qui fasse tout commuter pour tout couple d’objets de J dans la seconde figure page 5

Voyons les pages Wikipédia qui sont moins claires et rigoureuses mais où je peux recopier les figures qui aident à la compréhension.
Il n’y a qu’une page Wiki en anglais sur les cônes:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cone_(category_theory)

les notations sont différentes , la première figure de triangle commutatif pour tout couple d’objets de J et pour le sommet du cône noté N est:

image

et la seconde pour définir le cône universel est:

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il y a sur la notion de limite une page en anglais:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Limit_(category_theory)

et une page en français :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_(théorie_des_catégories)

Ces pages parlent aussi de colimites et de cocônes, qui sont les notions duales (on garde les mêmes objets, mais on inverse le sens des flèches) de celles de limites et de cônes.
(Se rappeler qu’une limite ou une colimite est toujours définie “à un isomorphisme près”)
Elles donnent aussi des exemples classiques de limites:
– un objet terminal est la limite pour le diagramme vide (aucun objet aucune flèche)

– le produit est la limite pour le diagramme composé de deux objets, sans flèche entre les deux, de deux points dit on aussi.
Dans le cas du topos Ens des ensembles le produit est le produit cartésien de deux ensembles. La notion duale de colimite est ce qu’on appelle la somme directe.
L’addition et la multiplication de deux nombres sont des cas particuliers des idées catégoriques de produit et de somme, et je suis convaincu qu’une théorie catégorique des nombres, ou arithmétique catégorique, verra le jour et permettra de démontrer très simplement des théorèmes comme le Grand théorème de Fermât, tout en donnant une compréhension lumineuse du pourquoi (pourquoi à partir de l’exposant n = 3 l’équation du théorème de Fermât n’a t’elle pas de solution en nombres entiers ?)
– le produit fibré (en anglais “pullback”) et sa notion duale de colimite (en anglais “pushout”).
C’est la limite pour le diagramme composé de deux flèches vers le même objet.
Voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Produit_fibré

La figure du diagramme est :

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et celles de la propriété du cône:

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Qu’est ce qu’une propriété universelle ? y a t’il une réponse satisfaisante?

J’ai déjà parlé du site math.stackexcnange  où n’importe qui étudiant la mathématique peut poser une question et recevoir de l’aide, voici une question sur la page Wikipedia “Universal property”  que j’ai étudiée dans les deux articles précédents :

http://math.stackexchange.com/questions/63150/what-is-a-universal-property

L’internaute  qui demande de l’aide fait remarquer fort justement que la notion à définir (” Universal property”) est utilisée dans la définition:

A universal morphism from X to U […] consists of a pair (A, φ) where A is an object of D and φ: X → U(A) is a morphism in C, such that the following universal property is satisfied

et il demande  donc : ” où puis je trouver une définition concise de “propriété universelle” ? ”

Plus loin, à propos de ceux qui lui  conseillent d’étudier les exemples classiques de propriétés universelles pour “comprendre ce que c’est” et ajoutent qu’une définition concise ne serait pas très utile, il évoque Saint Augustin et sa fameuse citation sur ce qu’est le temps:

si personne ne me demande ce qu’est le temps, je sais ce que c’est; si quelqu’un me demande de le lui expliquer, je ne sais plus

mais l’idée de propriété universelle est elle analogue à l’idée de temps, qui certes peut être mathématisé mais constitue d’abord la condition même de l’existence de l’être qui parle, et démontre les théorèmes : l’être humain.

Et d’ailleurs ses interlocuteurs ne peuvent que lui rappeler que des définitions toutes équivalentes, qu’il résume ainsi en trois grandes catéegories:

An object-X-together-with-morphisms-fi has a universal property iff for every other object-Y-with-morphisms-gi from/to the same objects as the fi, there exists a unique h:X→Y such that the gi can be obtained by compositions of h and the fi.”
“A universal (mapping) property is given by an initial object in some category of maps.”
“Universal means that all homomorphisms X→G that kill N factor through G→G/N.”

Et l’interlocuteur qui vient après en clamant avoir une définition tirée de l’exemple classique des groupes abéliens  (qu’il appelle Z-modules et de la propriété universelle de factorisation apprise en théorie des groupes:

It was of course taught to me with general groups and normal subgroups, but I will for simplicity use abelian groups, which I prefer to call Z-modules. So let M be a Z-module and M′ be a sub-Z-module of M. We can define a equivalence relation R on M as follows : for m1,m2∈M we have m1Rm2 if and only m1−m2∈M′. Note M/R the quotient set, and π:M→M/R the canonical map sending an m∈M to it’s equivalence class π(m). For elements ξ1=π(m1) and ξ2=π(m2) of M/R one sets ξ1+ξ2:=π(m1+m2) and one immediately verifies that this definition does not depend on the representatives chosen for the ξi’s. For n∈Z and an element ξ=π(m) of M/R one sets nξ:=π(nm) and one immediately verifies also that this definition does not depend on the representative chosen for ξ. This two definitions give us a structure of Z-module on M/R, and we note now M/M′ this Z-module. I was taught that M/M′ and the morphism π had (I guess that they still have now) the following universal property : for each Z-module M′′ and each morphism f:M→M′′ such that M′⊆Ker(f), there exist a unique application g:M/M′→M′′ such that the following diagram is commutative:

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se garde bien de préciser cette définition, dont on ne voit guère comment elle pourrait plus tenir de cet exemple particulier que des autres.

A noter que dans la marge de droite vous avez d’autres liens sur des questions analogues posées sur ce thème : l’universalité.

En fait je crois que finalement l’analogie avec le temps et avec la remarque de Saint Augustin est intéressante et valide, car ce mot d’universalité n’est pas semblable aux autres comme “foncteur” ou “espace vectoriel” dont on peut donner une définition concise et définitive sous forme de règles d’usage car il n’y a pas à chercher plus loin.
Avec le mot “universalité” ou “universel”, si chargé philosophiquement, c’est différent car de même que l’espace-temps désigne la condition même, dûe aux formes à priori de notre sensibilité, de notre existence dans le monde, dans le plan vital, l’universalité est la condition même de notre accès au plan de l’Idée au moyen de la recherche de la vérité.
Car la vérité ne peut être qu’universelle, sinon elle n’a plus de sens, ce n’est qu’un mot creux et vide de sens, un pur et simple “flatus vocis”.

Conférence internationale de théorie des catégories CT2015

La conférence annuelle CT2015 s’est tenue au Portugal à l’universited’Aveiro du 14 au 19 juin 2015.

Vous avez ici la liste des exposés, avec pour la plupart les “slides” (texte de l’exposé):

http://ct2015.web.ua.pt/talks.html

A noter que William Lawvere, inventeur avec Grothendieck de la théorie des topoi (Grothendieck pour le versant géométrique, Lawvere pour le versant logique) a donné un cours sur le thème:

Alexandre Grothendieck et la conception moderne de l’espace

dont le résumé est ici:

http://ct2015.web.ua.pt/abstracts/lawvere_b.pdf

****

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Adjonction 1: foncteurs adjoints

L’adjonction est une notion générale qui trouve son cadre dans les 2-catégories, mais commençons par la définition d’une paire de foncteurs adjoints.

Voir le cours suivant page 29-30

http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~mellies/slides/ed-cours-2.pdf

Soient deux catégories C et D (la notation du texte est malheureuse parce qu’on peut confondre les objets avec les catégories donc j’appelle les objets À et B comme dans le lien, mais les catégories C et C) et deux foncteurs L et R en sens inverse:

L : C ————-> D

R : D ————-> C

Soit A un objet de la catégorie C et B un objet de D : alors l’objet LA est l’objet de la catégorie D correspondant à A par le foncteurs L et RB est l’objet de la catégorie C correspondant à B par le foncteurs R.

Dans la catégorie C on peut considérer la collection (qui est un ensemble) des flèches entre les deux objets À et RB, on note cet ensemble :

C(A, RB)

De même dans la catégorie D on a l’ensemble:

D(LA,B)

des morphismes sur (ou flèches) entre les deux objets de D : LA et B.
On dit que les foncteurs L et R sont une paire de foncteurs adjoints s’il existe une bijection entre ces deux ensembles de flèches ce que l’on note:

D(LA,B) ≅ C(A,RB)

L est dit adjoint à gauche (L comme left en anglais) et R (comme right en anglais) est dit adjoint à droite ce qui se note:

L ⊣ R

Une bijection entre ces deux ensembles cela signifie qu’on a une fonction bijective entre les deux : par cette fonction on peut faire correspondre à toute flèche allant de LA à B dans la catégorie D une flèche unique allant de A à RB dans la catégorie C, et en sens inverse on peut faire correspondre à toute flèche allant de A à RB une flèche unique allant de LA à B
Pour des ensembles finis, vous pouvez trouver une bijection entre les deux si et seulement s’ils ont le même nombre d’éléments: si vous avez 6 pommes et 6 bananes ça marche..mais vous ne pouvez pas si vous avez 3 pommes et 5 bananes.

Vous devez avoir ces bijections pour tout couple d’objet A de la catégorie C et d’objet B de la catégorie D. On doit donc avoir des bijections indexées par les objets A de la catégorie C et B de la catégorie D, ce que le texte note en page 29 par la lettre grecque:

φ

Indexée par A,B (où A peut prendre toutes les valeurs d’objet de C et B toutes les valeurs d’objets de D)

(je n’arrive pas à répéter sur WordPress cette notation avec des indices ou avec des exposants)

Mais cela ne suffit pas : ces bijections, pour tout couple d’objet À de C et B de D doivent être naturelles ce qui est expliqué page 30.

Le premier diagramme commutatif (celui du haut de la page 30) se situe dans la catégorie D, il doit être transformé par les bijections φ indexées par A et B en le second diagramme (bas de la page 30) qui doit être commutatif.

Seulement ce n’est pas clair du tout (ce cours s’adresse à des étudiants déjà formés à la théorie des catégories) et de plus

il y a une erreur

:

Dans le diagramme du haut de la page 30 on doit lire dans le coin en bas à droite du carré:


B’ et non pas RB’

Prenez la page Wikipedia pour les foncteurs adjoints:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur_adjoint

elle dit:

Soient C et D deux catégories, et F : C → D et G : D → C deux foncteurs. On dit que


F est adjoint à gauche de G et G est adjoint à droite de F
si pour tout objet X de C et Y de D, il existe une bijection, naturelle en chaque variable
:

image

et si vous cliquez sur “naturelle” vous allez sur la page Wiki des transformations naturelles:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

Une transformation naturelle entre deux foncteurs F et G allant de C vers D est définie par une collection de flèches dans la catégorie cible D indexées par les objets X de la catégorie source C
La naturalité signifie que pour toute flèche :

f : X ——–> Y dans la catégorie C le carré suivant est commutatif:

image

Seulement là il n’y a qu’un seul indice : dans le cas de l’adjonction les bijections φ sont indexées par un couple d’indices ce qui fait que vous devez avoir deux carrés commutatifs, puisqu’il y deux indices, et c’est ce que vous avez page 30 de:

http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~mellies/slides/ed-cours-2.pdf

une fois corrigée la malencontreuse erreur de frappe que j’ai signalée: il faut remplacer RB’ par B’ dans le diagramme du haut

Le morphisme A’ vers A joue le même rôle que celui de X vers Y (remplacez Y par X’ si vous voulez) pour les transformations naturelles : il va de A’vers A et non de A vers A’ car l’indice A est à gauche, par contre le morphisme du second indice va de B vers B’.
Et cette commutativité doit se produire pour tous les couples d’indices A et B, et pour tous les morphismes

A’ vers A dans C

et
B vers B’ dans la catégorie D

La commutativité du diagramme veut dire que tous les chemins possibles liant deux objets sont égaux.

Par exemple dans le carré du haut (en corrigeant l’erreur et remplaçant RB’ par B’ en bas à droite du carré)
Vous avez deux chemins pour aller de LA’ (en bas à gauche) à B’ (et non pas RB’) en bas à droite :

Soit la flèche f du bas
Soit la composée des trois flèches de LA’ à LA, puis la flèche g de LA à B (en haut) puis enfin la flèche qui descend de B à B’ (et non pas RB’, erreur de frappe à corriger) à droite.

La composée de ces trois flèches doit être égale à la flèche f : c’est cela que signifie “commutativité”

Je me rends compte que cela doit être difficile pour les personnes qui ne sont pas déjà familiarisée aussi y reviendrai je souvent dans les 4 ou 5 ( en comptant celui sur Descartes) blogs “Henosophia Τοποσοφια οντοποσοφια μαθεσις uni√ersalis ενοσοφια”

car ces notions de base (transformations naturelles, foncteurs, adjonctions, catégories et 2-catégories) sont cruciales pour la suite.
Je veux ici répéter qu’il n’y pas de personnes mauvaises en maths : simplement ces personnes “se braquent” à la suite d’une mésaventure (avec un professeur méprisant par exemple) et refusent tout effort.
Or il faut de gros effort en mathématiques.
Par contraste, tout le monde n’est pas capable de comprendre la poésie de Mallarmé.
Très peu d’occidentaux (et même d’hindous) peuvent comprendre les Upanishads, même si elles lisent le sanskrit.
Inversement un asiatique, même cultivé, aura du mal à lire “La recherche du temps perdu”

ce qui se résume en :

Seule la mathématique et la science véritable, mathématisable et mathématisée (ce qui exclut l’économie à mon avis) est UNIVERSELLE.
Les arts (littérature, poésie, peinture, musique) ne le sont pas, ni les religions

L’illusion de la pluralité des substances, propre au plan vital, est guérie par l’accès au plan de l’Idée permis par la mathesis universalis οντοποσοφια

Suite de :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/10/objet-relation-et-transcendantal-le-formalisme-de-logiques-des-mondes/

et

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/06/09/les-deux-formalismes-mathematiques-de-badiou-theorie-des-ensembles-et-theorie-des-topoi/

Nous nous demandons avec David Rabouin:

car c’est bien là le coeur du problème : qu’est ce qui “pousse” l’être à apparaître ?
et pourquoi cette puissance qui fait passer de l’être à “l’être-là” “s’exprime t’elle” comme localisation?
pourquoi ce secret retour de l’espace, là où ensembles et catégories auraient dû nous offrir (c’est ce qu’ils promettaient) d’autres modes de représentation, plus purs et plus généraux

Cette puissance de localisation dans l’apparaître (ce qui traduit le terme grec aboutissant à notre idée de “phénomènes”) est déjà évoquée par Badiou dans la méditation 1 de “L’être et l’événement” lors de la seule conclusion possible qui est une décision (que nous approuvons) capable de nous faire franchir les tourniquets du Parménide de Platon et la volupté masochiste de ne jamais pouvoir conclure:

L’un n’est pas. Il n’est cependant pas question de céder sur ce que Lacan épingle du symbolique comme son principe : il y a de l’un

Ce “y” dans “il y a” est vu par Badiou comme un opérateur de localisation errante, qui ne doit cependant pas concéder à l’un un point d’être.

Aussi poursuit il:

ce qu’il faut énoncer c’est que l’un, qui n’est pas, existe seulement comme opération. Ou encore : il n’y a pas d’un, il n’y a que le compte-pour-un. L’un, d’être une opération, n’est jamais une présentation.Il convient de prendre tout à fait au sérieux le fait que “un” soit un nombre. Et sauf à pythagoriser il n’y a pas lieu de penser que l’être en tant qu’être soit nombre. Est ce à dire que l’être n’est pas non plus multiple? À la rigueur oui, car il n’est multiple qu’autant qu’il advient à la présentation.

En somme : le multiple est le régime de la présentation, l’un est, au regard de la présentation, un résultat opératoire, l’être est ce qui (se) présente, n’étant de ce fait ni un ( car seule la présentation elle même est pertinente pour le compte-pour-un) ni multiple (car le multiple n’est le régime que de la présentation).

Badiou tient donc parole, il permet, nouveau joueur de flûte après Heidegger et Lacan, à la pensée captive de ses sortilèges de “rompre avec les arcanes de l’un et du multiple où la philosophie naît et disparaît, Phénix de sa consumation sophistique”.

C’est fort joliment dit, et nous n’en avons pas terminé avec cette méditation 1 sur “l’un et le multiple : condition de toute ontologie possible”, il faudra bien s’y affronter, à ce sommet vertigineux du badiolisme en même temps que de toute pensée. Mais ce ne sera pas fait en sept jours, ni même peut être en sept ans, durée hermétique d’un séjour à Davos de 1907 à 1914 comme de toute guerre d’idées, toujours guerre contre la “séduction de la mort et de la maladie”:

La montagne magique tome 1

***

La montagne magique tome 2

On nous permettra, puisque c’est quand même ici notre blog, de prêter l’oreille aux accents d’un autre penseur, propre à nous délivrer pensons nous des sortilèges du joueur de flûte aussi bien que des “séductions de la mort et de la maladie” qui sont celles du plan vital (puisque toute vie apparemment s’achemine vers la mort, sauf si l’on “surmonte en esprit” les tragédies de notre situation et autres consumations sophistiques en “renonçant à la mort”).

Dieu ne naîtra pas d’une intuition tournée vers l’extérieur comme celle qui nous met en présence d’une chose ou d’une personne. Dieu est précisément ce chez qui l’existence ne sera pas différente de l’essence ; et cette essence ne se manifestera que du dedans grâce à l’effort de réflexion qui découvre dans le progrès indéfini dont est capable notre pensée l’éternité de l’intelligence et l’universalité de l’amour. Nous ne doutons pas que Dieu existe puisque nous nous sentons toujours, selon la parole de Malebranche, du mouvement pour aller plus loin jusqu’à cette sphère lumineuse qui apparaît au sommet de la dialectique platonicienne où, passant par dessus l’imagination de l’être, l’unité de l’Un se suffit et se répond à soi-même. Méditer l’Être nous en éloigne ; méditer l’unité y ramène.

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/heritage_de_mots_idees/heritage_de_mots.html

Ce même penseur, Léon Brunschvicg, qui aura bien dû penser donc être pour qu’après sa mort la destruction de sa pensée s’opère dans le matérialisme dialectique, nous prévient aussi que si la philosophie a semblé disparaître après Platon lors de l’éclipse complète des valeurs spirituelles, elle a reparu chez Descartes, avant de disparaître de nouveau après 1945:

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/ecrits_philosophiques_t1/ecrits_philosophiques_t1_intro.html

Mais après Platon, ou du moins après Archimède, la spiritualité de la culture hellénique s’efface. L’animisme et l’artificialisme, qui caractérisent, selon les expressions de M. Piaget, la représentation du monde chez l’enfant, rentrent victorieusement en scène avec la métaphysique d’Aristote, incapable, pour parler avec M. Léon Robin, de « ménager de transition, sinon astrologique, entre l’intelligible et le sensible ». Dieu n’est plus ce qui est compris et aimé du dedans, tel l’Un-Bien de Platon ; c’est ce qui est imaginé en haut, c’est le moteur immobile auquel sont suspendues les âmes bienheureuses des astres ; l’ordonnance de la métaphysique aristotélicienne, de toutes les métaphysiques établies sur le modèle aristotélicien, implique une invention de créatures placées hiérarchiquement, c’est-à-dire situées topographiquement, au-dessus du monde sublunaire. La défaite de l’idéalisme platonicien sous les coups du réalisme aristotélicien engage la destinée de l’Europe pendant les vingt siècles qui vont s’écouler jusqu’à la renaissance cartésienne…..

….C’est de Descartes que date le retour à la spiritualité pure par laquelle Platon avait mis en évidence le caractère de la civilisation occidentale : « Toutes les sciences (écrit-il dans la première des Règles pour la direction de l’esprit), ne sont rien d’autre que la sagesse humaine, laquelle demeure toujours une et identique, tout en s’appliquant à divers sujets, sans se laisser différencier par eux, plus que la lumière du soleil par la variété des choses qu’elle éclaire. » Mais l’humanisme de la sagesse ne manifestera toute sa vertu dans la recherche de la vérité, que s’il a conquis, par une ascèse préalable, sa liberté totale à l’égard des préjugés de la conscience collective. De cette ascèse, Descartes sera redevable aux Essais de Montaigne.

Nous avons de plus un motif précis de nous méfier du badiolisme : son attitude à l’égard de la théorie des topos et des catégories, qu’il oppose à celle de l’ontologie ensembliste ce qui revient nous semble t’il à congédier le seul universalisme apte à unifier l’humanité non pas dans un collectivisme religieux, ethnique ou étatique-communiste, ensembliste en tout cas, mais dans une pensée libérée de tout préjugé, une pensée libre en somme:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/deux-universalismes-concret-categorique-henologique-et-abstrait-ensembliste-ontologique/

Toute présentation d’une multiplicité dans une “situation” comme tout compte-pour-un réclame selon nous comme leur condition de possibilité une conscience (humaine, car il ne nous a jamais été donné de contempler ni anges, ni archanges).

Nous décidons nous aussi de rompre avec la réciprocité de l’être et de l’un, mais c’est pour “méditer l’unité”, et oublier l’être qui n’est jamais que la multiplicité des étants déjà décidée pour nous par les contraintes propres à la continuation de l’existence, de notre existence dans le monde, sur le “plan vital”

Une situation, c’est par exemple dans le cas d’une guerre ce canon ou ces mitrailleuses ennemies qui tire sur le groupe de soldats dont je fais partie si je me trouve sur Omaha beach le matin du 6 janvier 1944.

Ou bien en 1942 à Guadalcanal ce qui conviendra mieux à ma démonstration.

Car si nous avons vu le magnifique film de Terrence Malick “The thin red line” nous savons que cette situation n’est propre qu’à moi et aux militaires occidentaux ou japonais engagés dans cette folie absurde, et peut voisiner avec d’autres situations tout aussi locales : une araignée tissant sa toile, ou des tribus se baignant non loin.

C’est l’exigence de la continuation de ma vie qui me pousse à négliger certains aspects de la situation : cette araignée multicolore, ou ce serpent, ou cet oiseau, ou ces rires d’indigènes de la tribu se baignant non loin.

De par la nature de la situation, qui est la guerre en 1942, je ne suis guère enclin à “méditer l’unité” (par exemple l’unité entre mon groupe et celui de ces soldats japonais qui tirent sur nous).

Je suis plutôt obligé de “méditer l’être” sous une forme ultra-simplifiée, celle d’un compte-pour-un de ces soldats, de ces mitrailleuses qui menacent ma vie et celle de mes camarades.

Et si je préfère oublier cet enfer de la multiplicité technique des étants (armes, soldats) pour me concentrer quelques instants sur le paradis, perdu puis retrouvé de l’unité prodigieusement belle de la situation globale dans cette nature si “paradisiaque” (s’il n’y avait pas l’enfer de la guerre) le sergent ou le lieutenant ne mettront pas longtemps pour me rappeler à mon devoir de soldat : tuer l’ennemi, ou être tué

Mais admettons que nous ne soyions pas en 1942 mais en 1998, lors du tournage du film de Terrence Malick : la continuation de mon existence n’est pas menacée, je puis oublier les (fausse) mitrailleusess, pour me concentrer sur la globalité de la situation.

Parce que je sais, parce que j’ai conscience, d’être figurant dans un film, et non soldat dans une vraie guerre…