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Adjonction 1: foncteurs adjoints

L’adjonction est une notion générale qui trouve son cadre dans les 2-catégories, mais commençons par la définition d’une paire de foncteurs adjoints.

Voir le cours suivant page 29-30

http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~mellies/slides/ed-cours-2.pdf

Soient deux catégories C et D (la notation du texte est malheureuse parce qu’on peut confondre les objets avec les catégories donc j’appelle les objets À et B comme dans le lien, mais les catégories C et C) et deux foncteurs L et R en sens inverse:

L : C ————-> D

R : D ————-> C

Soit A un objet de la catégorie C et B un objet de D : alors l’objet LA est l’objet de la catégorie D correspondant à A par le foncteurs L et RB est l’objet de la catégorie C correspondant à B par le foncteurs R.

Dans la catégorie C on peut considérer la collection (qui est un ensemble) des flèches entre les deux objets À et RB, on note cet ensemble :

C(A, RB)

De même dans la catégorie D on a l’ensemble:

D(LA,B)

des morphismes sur (ou flèches) entre les deux objets de D : LA et B.
On dit que les foncteurs L et R sont une paire de foncteurs adjoints s’il existe une bijection entre ces deux ensembles de flèches ce que l’on note:

D(LA,B) ≅ C(A,RB)

L est dit adjoint à gauche (L comme left en anglais) et R (comme right en anglais) est dit adjoint à droite ce qui se note:

L ⊣ R

Une bijection entre ces deux ensembles cela signifie qu’on a une fonction bijective entre les deux : par cette fonction on peut faire correspondre à toute flèche allant de LA à B dans la catégorie D une flèche unique allant de A à RB dans la catégorie C, et en sens inverse on peut faire correspondre à toute flèche allant de A à RB une flèche unique allant de LA à B
Pour des ensembles finis, vous pouvez trouver une bijection entre les deux si et seulement s’ils ont le même nombre d’éléments: si vous avez 6 pommes et 6 bananes ça marche..mais vous ne pouvez pas si vous avez 3 pommes et 5 bananes.

Vous devez avoir ces bijections pour tout couple d’objet A de la catégorie C et d’objet B de la catégorie D. On doit donc avoir des bijections indexées par les objets A de la catégorie C et B de la catégorie D, ce que le texte note en page 29 par la lettre grecque:

φ

Indexée par A,B (où A peut prendre toutes les valeurs d’objet de C et B toutes les valeurs d’objets de D)

(je n’arrive pas à répéter sur WordPress cette notation avec des indices ou avec des exposants)

Mais cela ne suffit pas : ces bijections, pour tout couple d’objet À de C et B de D doivent être naturelles ce qui est expliqué page 30.

Le premier diagramme commutatif (celui du haut de la page 30) se situe dans la catégorie D, il doit être transformé par les bijections φ indexées par A et B en le second diagramme (bas de la page 30) qui doit être commutatif.

Seulement ce n’est pas clair du tout (ce cours s’adresse à des étudiants déjà formés à la théorie des catégories) et de plus

il y a une erreur

:

Dans le diagramme du haut de la page 30 on doit lire dans le coin en bas à droite du carré:


B’ et non pas RB’

Prenez la page Wikipedia pour les foncteurs adjoints:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur_adjoint

elle dit:

Soient C et D deux catégories, et F : C → D et G : D → C deux foncteurs. On dit que


F est adjoint à gauche de G et G est adjoint à droite de F
si pour tout objet X de C et Y de D, il existe une bijection, naturelle en chaque variable
:

image

et si vous cliquez sur “naturelle” vous allez sur la page Wiki des transformations naturelles:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

Une transformation naturelle entre deux foncteurs F et G allant de C vers D est définie par une collection de flèches dans la catégorie cible D indexées par les objets X de la catégorie source C
La naturalité signifie que pour toute flèche :

f : X ——–> Y dans la catégorie C le carré suivant est commutatif:

image

Seulement là il n’y a qu’un seul indice : dans le cas de l’adjonction les bijections φ sont indexées par un couple d’indices ce qui fait que vous devez avoir deux carrés commutatifs, puisqu’il y deux indices, et c’est ce que vous avez page 30 de:

http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~mellies/slides/ed-cours-2.pdf

une fois corrigée la malencontreuse erreur de frappe que j’ai signalée: il faut remplacer RB’ par B’ dans le diagramme du haut

Le morphisme A’ vers A joue le même rôle que celui de X vers Y (remplacez Y par X’ si vous voulez) pour les transformations naturelles : il va de A’vers A et non de A vers A’ car l’indice A est à gauche, par contre le morphisme du second indice va de B vers B’.
Et cette commutativité doit se produire pour tous les couples d’indices A et B, et pour tous les morphismes

A’ vers A dans C

et
B vers B’ dans la catégorie D

La commutativité du diagramme veut dire que tous les chemins possibles liant deux objets sont égaux.

Par exemple dans le carré du haut (en corrigeant l’erreur et remplaçant RB’ par B’ en bas à droite du carré)
Vous avez deux chemins pour aller de LA’ (en bas à gauche) à B’ (et non pas RB’) en bas à droite :

Soit la flèche f du bas
Soit la composée des trois flèches de LA’ à LA, puis la flèche g de LA à B (en haut) puis enfin la flèche qui descend de B à B’ (et non pas RB’, erreur de frappe à corriger) à droite.

La composée de ces trois flèches doit être égale à la flèche f : c’est cela que signifie “commutativité”

Je me rends compte que cela doit être difficile pour les personnes qui ne sont pas déjà familiarisée aussi y reviendrai je souvent dans les 4 ou 5 ( en comptant celui sur Descartes) blogs “Henosophia Τοποσοφια οντοποσοφια μαθεσις uni√ersalis ενοσοφια”

car ces notions de base (transformations naturelles, foncteurs, adjonctions, catégories et 2-catégories) sont cruciales pour la suite.
Je veux ici répéter qu’il n’y pas de personnes mauvaises en maths : simplement ces personnes “se braquent” à la suite d’une mésaventure (avec un professeur méprisant par exemple) et refusent tout effort.
Or il faut de gros effort en mathématiques.
Par contraste, tout le monde n’est pas capable de comprendre la poésie de Mallarmé.
Très peu d’occidentaux (et même d’hindous) peuvent comprendre les Upanishads, même si elles lisent le sanskrit.
Inversement un asiatique, même cultivé, aura du mal à lire “La recherche du temps perdu”

ce qui se résume en :

Seule la mathématique et la science véritable, mathématisable et mathématisée (ce qui exclut l’économie à mon avis) est UNIVERSELLE.
Les arts (littérature, poésie, peinture, musique) ne le sont pas, ni les religions

Transformations naturelles

Les foncteurs sont des flèches qui relient deux catégories, des “morphismes entre catégories”:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur

tels que tout objet de la catégorie de départ à un correspondant parmi les objets de la catégorie d’arrivée, et que la structure est respectée : un morphisme qui relie deux objets A et B de la catégorie de départ aura comme correspondant un morphisme qui relie les correspondants de A et B dans la catégorie d’arrivée.
Les morphisme identités sont envoyés sur les morphismes identités, le composée de deux flèches sur le composé des deux flèches correspondantes:

F(fg) = F(f)F(g)

Bref un foncteur entre deux catégories est l’analogie d’une fonction entre deux ensembles, sauf que dans ce dernier cas il n’y a pas de structure à respecter car il n’y a pas de flèches.

D’ailleurs un ensemble est un cas particulier de catégorie, où il n’y a pas de flèches entre les objets (qui sont les éléments de l’ensemble) sauf que l’on garde les morphismes identité qui sont identifiés aux objets : un foncteur est alors une fonction entre les deux ensembles vus comme catégories.

En mathématiques (comme dans toutes les sciences ou savoirs véritables) il y a progression des connaissances sans remettre en cause les anciens savoirs à condition qu’ils soient véritables.
Ainsi la notion de foncteur généralise et “dépasse en conservant” (Aufhebung) celle de fonction sans la remettre en cause.

De même toute révolution scientifique, comme la Relativité einsteinienne, dépasse en conservant la physique newtonienne, qui reste valable dans les limites qui lui sont dévolues (vitesses faibles par rapport à la vitesse de la lumière).

Par contre la physique newtonienne ne dépasse pas ni ne réfute la physique aristotélicienne car cette dernière n’est pas scientifique.

Une telle progression qui dépasse en conservant devrait aussi exister en philosophie si celle ci s’était maintenue dans son cadre véritable qui est l’idéalisme mathématisant de Platon pour s’acheminer vers un statut de science rigoureuse comme le souhaitait Husserl.

Par contre en matière de religions il n’y a pas de progression, mais une religion prend la place des autres en interdisant leurs cultes au moyen de génocides, comme ce fut le cas pour les païens, ou pour les cathares.
Mais revenons aux foncteurs…

Les morphismes entre foncteurs sont les transformations naturelles (naturel transformations):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

Une transformation naturelle entre deux foncteurs F et G qui relient deux catégories C et D consiste en la donnée pour chaque objet X de la catégorie de départ C d’un morphisme de la catégorie d’arrivée D.

F: C ————> D

G: C ————> D

Ainsi au lieu d’envoyer un objet de C sur un objet de D, une transformation naturelle :

η : F. ———–> G

Envoie chaque objet X de C sur un morphisme de D reliant F(X) à G(X)

image

tel que le carré suivant soit commutatif:

image

Le carré est commutatif : cela veut dire que la flèche résultant de la composition de la flèche du haut suivie de la flèche descendante de droite est égale à celle qui résulte de la composition de la flèche descendante de gauche suivie de la flèche du bas.

La notion de diagramme (réseau d’objets et de flèches) commutatif est fondamentale en théorie des catégories :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Diagram_(category_theory)

(il n’y a pas de page Wiki en français pour les diagrammes et les limites)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_catégories

L’illusion de la pluralité des substances, propre au plan vital, est guérie par l’accès au plan de l’Idée permis par la mathesis universalis οντοποσοφια

Suite de :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/10/objet-relation-et-transcendantal-le-formalisme-de-logiques-des-mondes/

et

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/06/09/les-deux-formalismes-mathematiques-de-badiou-theorie-des-ensembles-et-theorie-des-topoi/

Nous nous demandons avec David Rabouin:

car c’est bien là le coeur du problème : qu’est ce qui “pousse” l’être à apparaître ?
et pourquoi cette puissance qui fait passer de l’être à “l’être-là” “s’exprime t’elle” comme localisation?
pourquoi ce secret retour de l’espace, là où ensembles et catégories auraient dû nous offrir (c’est ce qu’ils promettaient) d’autres modes de représentation, plus purs et plus généraux

Cette puissance de localisation dans l’apparaître (ce qui traduit le terme grec aboutissant à notre idée de “phénomènes”) est déjà évoquée par Badiou dans la méditation 1 de “L’être et l’événement” lors de la seule conclusion possible qui est une décision (que nous approuvons) capable de nous faire franchir les tourniquets du Parménide de Platon et la volupté masochiste de ne jamais pouvoir conclure:

L’un n’est pas. Il n’est cependant pas question de céder sur ce que Lacan épingle du symbolique comme son principe : il y a de l’un

Ce “y” dans “il y a” est vu par Badiou comme un opérateur de localisation errante, qui ne doit cependant pas concéder à l’un un point d’être.

Aussi poursuit il:

ce qu’il faut énoncer c’est que l’un, qui n’est pas, existe seulement comme opération. Ou encore : il n’y a pas d’un, il n’y a que le compte-pour-un. L’un, d’être une opération, n’est jamais une présentation.Il convient de prendre tout à fait au sérieux le fait que “un” soit un nombre. Et sauf à pythagoriser il n’y a pas lieu de penser que l’être en tant qu’être soit nombre. Est ce à dire que l’être n’est pas non plus multiple? À la rigueur oui, car il n’est multiple qu’autant qu’il advient à la présentation.

En somme : le multiple est le régime de la présentation, l’un est, au regard de la présentation, un résultat opératoire, l’être est ce qui (se) présente, n’étant de ce fait ni un ( car seule la présentation elle même est pertinente pour le compte-pour-un) ni multiple (car le multiple n’est le régime que de la présentation).

Badiou tient donc parole, il permet, nouveau joueur de flûte après Heidegger et Lacan, à la pensée captive de ses sortilèges de “rompre avec les arcanes de l’un et du multiple où la philosophie naît et disparaît, Phénix de sa consumation sophistique”.

C’est fort joliment dit, et nous n’en avons pas terminé avec cette méditation 1 sur “l’un et le multiple : condition de toute ontologie possible”, il faudra bien s’y affronter, à ce sommet vertigineux du badiolisme en même temps que de toute pensée. Mais ce ne sera pas fait en sept jours, ni même peut être en sept ans, durée hermétique d’un séjour à Davos de 1907 à 1914 comme de toute guerre d’idées, toujours guerre contre la “séduction de la mort et de la maladie”:

La montagne magique tome 1

***

La montagne magique tome 2

On nous permettra, puisque c’est quand même ici notre blog, de prêter l’oreille aux accents d’un autre penseur, propre à nous délivrer pensons nous des sortilèges du joueur de flûte aussi bien que des “séductions de la mort et de la maladie” qui sont celles du plan vital (puisque toute vie apparemment s’achemine vers la mort, sauf si l’on “surmonte en esprit” les tragédies de notre situation et autres consumations sophistiques en “renonçant à la mort”).

Dieu ne naîtra pas d’une intuition tournée vers l’extérieur comme celle qui nous met en présence d’une chose ou d’une personne. Dieu est précisément ce chez qui l’existence ne sera pas différente de l’essence ; et cette essence ne se manifestera que du dedans grâce à l’effort de réflexion qui découvre dans le progrès indéfini dont est capable notre pensée l’éternité de l’intelligence et l’universalité de l’amour. Nous ne doutons pas que Dieu existe puisque nous nous sentons toujours, selon la parole de Malebranche, du mouvement pour aller plus loin jusqu’à cette sphère lumineuse qui apparaît au sommet de la dialectique platonicienne où, passant par dessus l’imagination de l’être, l’unité de l’Un se suffit et se répond à soi-même. Méditer l’Être nous en éloigne ; méditer l’unité y ramène.

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/heritage_de_mots_idees/heritage_de_mots.html

Ce même penseur, Léon Brunschvicg, qui aura bien dû penser donc être pour qu’après sa mort la destruction de sa pensée s’opère dans le matérialisme dialectique, nous prévient aussi que si la philosophie a semblé disparaître après Platon lors de l’éclipse complète des valeurs spirituelles, elle a reparu chez Descartes, avant de disparaître de nouveau après 1945:

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/ecrits_philosophiques_t1/ecrits_philosophiques_t1_intro.html

Mais après Platon, ou du moins après Archimède, la spiritualité de la culture hellénique s’efface. L’animisme et l’artificialisme, qui caractérisent, selon les expressions de M. Piaget, la représentation du monde chez l’enfant, rentrent victorieusement en scène avec la métaphysique d’Aristote, incapable, pour parler avec M. Léon Robin, de « ménager de transition, sinon astrologique, entre l’intelligible et le sensible ». Dieu n’est plus ce qui est compris et aimé du dedans, tel l’Un-Bien de Platon ; c’est ce qui est imaginé en haut, c’est le moteur immobile auquel sont suspendues les âmes bienheureuses des astres ; l’ordonnance de la métaphysique aristotélicienne, de toutes les métaphysiques établies sur le modèle aristotélicien, implique une invention de créatures placées hiérarchiquement, c’est-à-dire situées topographiquement, au-dessus du monde sublunaire. La défaite de l’idéalisme platonicien sous les coups du réalisme aristotélicien engage la destinée de l’Europe pendant les vingt siècles qui vont s’écouler jusqu’à la renaissance cartésienne…..

….C’est de Descartes que date le retour à la spiritualité pure par laquelle Platon avait mis en évidence le caractère de la civilisation occidentale : « Toutes les sciences (écrit-il dans la première des Règles pour la direction de l’esprit), ne sont rien d’autre que la sagesse humaine, laquelle demeure toujours une et identique, tout en s’appliquant à divers sujets, sans se laisser différencier par eux, plus que la lumière du soleil par la variété des choses qu’elle éclaire. » Mais l’humanisme de la sagesse ne manifestera toute sa vertu dans la recherche de la vérité, que s’il a conquis, par une ascèse préalable, sa liberté totale à l’égard des préjugés de la conscience collective. De cette ascèse, Descartes sera redevable aux Essais de Montaigne.

Nous avons de plus un motif précis de nous méfier du badiolisme : son attitude à l’égard de la théorie des topos et des catégories, qu’il oppose à celle de l’ontologie ensembliste ce qui revient nous semble t’il à congédier le seul universalisme apte à unifier l’humanité non pas dans un collectivisme religieux, ethnique ou étatique-communiste, ensembliste en tout cas, mais dans une pensée libérée de tout préjugé, une pensée libre en somme:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/deux-universalismes-concret-categorique-henologique-et-abstrait-ensembliste-ontologique/

Toute présentation d’une multiplicité dans une “situation” comme tout compte-pour-un réclame selon nous comme leur condition de possibilité une conscience (humaine, car il ne nous a jamais été donné de contempler ni anges, ni archanges).

Nous décidons nous aussi de rompre avec la réciprocité de l’être et de l’un, mais c’est pour “méditer l’unité”, et oublier l’être qui n’est jamais que la multiplicité des étants déjà décidée pour nous par les contraintes propres à la continuation de l’existence, de notre existence dans le monde, sur le “plan vital”

Une situation, c’est par exemple dans le cas d’une guerre ce canon ou ces mitrailleuses ennemies qui tire sur le groupe de soldats dont je fais partie si je me trouve sur Omaha beach le matin du 6 janvier 1944.

Ou bien en 1942 à Guadalcanal ce qui conviendra mieux à ma démonstration.

Car si nous avons vu le magnifique film de Terrence Malick “The thin red line” nous savons que cette situation n’est propre qu’à moi et aux militaires occidentaux ou japonais engagés dans cette folie absurde, et peut voisiner avec d’autres situations tout aussi locales : une araignée tissant sa toile, ou des tribus se baignant non loin.

C’est l’exigence de la continuation de ma vie qui me pousse à négliger certains aspects de la situation : cette araignée multicolore, ou ce serpent, ou cet oiseau, ou ces rires d’indigènes de la tribu se baignant non loin.

De par la nature de la situation, qui est la guerre en 1942, je ne suis guère enclin à “méditer l’unité” (par exemple l’unité entre mon groupe et celui de ces soldats japonais qui tirent sur nous).

Je suis plutôt obligé de “méditer l’être” sous une forme ultra-simplifiée, celle d’un compte-pour-un de ces soldats, de ces mitrailleuses qui menacent ma vie et celle de mes camarades.

Et si je préfère oublier cet enfer de la multiplicité technique des étants (armes, soldats) pour me concentrer quelques instants sur le paradis, perdu puis retrouvé de l’unité prodigieusement belle de la situation globale dans cette nature si “paradisiaque” (s’il n’y avait pas l’enfer de la guerre) le sergent ou le lieutenant ne mettront pas longtemps pour me rappeler à mon devoir de soldat : tuer l’ennemi, ou être tué

Mais admettons que nous ne soyions pas en 1942 mais en 1998, lors du tournage du film de Terrence Malick : la continuation de mon existence n’est pas menacée, je puis oublier les (fausse) mitrailleusess, pour me concentrer sur la globalité de la situation.

Parce que je sais, parce que j’ai conscience, d’être figurant dans un film, et non soldat dans une vraie guerre…

Les deux formalismes mathématiques de Badiou : théorie des ensembles et théorie des topoi

On peut critiquer l’oeuvre de Badiou (dont on doit reconnaître cependant l’extrême hauteur de vue intellectuelle) de plusieurs points de vue : strictement mathématique, politique, philosophique….

l’article dont j’ai donné la référence ici :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/06/04/la-faute-de-labbe-badiou/

privilégie le point de vue mathématique, celui du formalisme utilisé , comme on le verra, pour ma part je reconnais la nécessité de plonger très profond dans la partie mathématique de l’oeuvre (axiomatique ZF des ensembles, “forcing” de Paul Cohen, théorie des catégories et des topoi) sinon l’on court le risque d’en rester à un niveau très général, littéraire voire “politique” envisagé du point de vue de la “bien pensance démocratique”, en dénonçant comme Caroline Fourest ou d’autres le maoïsme ou le polpotisme (qui n’est pas avéré) provocateur de Badiou , en tout cas son opposition à la “prétendue” démocratie…

pour ma part j’ai déjà un grief, qui touche à son petit mais magistral écrit :

“Saint Paul : la fondation de l’universalisme”

voir à ce propos :

https://enseignement-latin.hypotheses.org/6792

or selon les vues développées ici, la fondation de l’universalisme se situe dans le cartésianisme et la mathesis universalis,, stade évolutif (non dogmatique) du platonisme qui est la vérité de la philosophie, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/25/le-platonisme-est-la-verite-de-la-philosophie/

(c’est d’ailleurs un second sujet de grief : la nature du platonisme, totalement différente chez Badiou et chez Brunschvicg) et comme le dit Singevin cité dans cet article :

“« Il y a une mesure du vrai, et elle est en nous, dans cette puissance universelle de juger qui est, selon la maxime du cartésianisme, la chose du monde la mieux partagée. Mais c’est aussi que l’être lui même, que l’univers l’y a mise, en ce qu’il vise l’un, que l’ un est valeur, et que ce qui juge de la valeur, c’est nous »”

L’évènement de Damas (d’ailleurs fort suspect, mais ce n’est pas ici la place d’en discuter) doit donc céder la place à la nuit de songes de Descartes, où il aperçoit l’idée de la “science admirable”:

http://singulier.info/rrr/2-rdes1.html

Mais les moyens de parvenir à cette heureuse conquête ne lui causèrent pas moins d’embarras que la fin même. La recherche qu’il voulut faire de ces moyens jeta son esprit dans de violentes agitations, qui augmentèrent de plus en plus par une contention (i) continuelle où il le tenait, sans souffrir que la promenade ni les compagnies y fissent diversion. Il le fatigua de telle sorte que le feu lui prit au cerveau et qu’il tomba dans une espèce d’enthousiasme, qui disposa de telle manière son esprit déjà abattu qu’il le mit en état de recevoir les impressions des songes et des visions. 

  il nous apprend que le dixième de novembre mil six cent dix-neuf, s’étant couché tout rempli de son enthousiasme et tout occupé de la pensée d’avoir trouvé ce jour-là les fondements de la science admirable , il eut trois songes consécutifs en une seule nuit, qu’il s’imagina ne pouvoir être venus que d’en haut……

….Voyant que l’application de toutes ces choses réussissait si bien à son gré, il fut assez hardi pour se persuader que c’était l’esprit de vérité qui avait voulu lui ouvrir les trésors de toutes les sciences par ce songe.”

Le chantier Badiou s’attachera surtout à étudier ses deux oeuvres les plus importantes : “L’être et l’évènement” et “Logiques des mondes”, les seuls où la mathématique est prépondérante pour donner forme au système.

L’examen de l’article “Badiou’s mistake” sur Arxiv :

http://arxiv.org/abs/1301.1203

sera facilité par celui de l’article de David Rabouin titré :

“Objet, relation, transcendantal : une introduction au formalisme de Logiques des mondes”

qui se trouve dans le livre “Autour de Logiques des mondes”, en lecture partielle ici:

https://books.google.fr/books?id=yJfh4V-iLskC&pg=PA33&lpg=PA33&dq=david+rabouin+objet+relation+transcendantal&source=bl&ots=0og1wxJpQX&sig=0DV2PDa7RK58ox2LITXFg_fwd5c&hl=fr&sa=X&ei=jtp2Vfu9McyqUZC6gwg&ved=0CFQQ6AEwCA#v=onepage&q=david%20rabouin%20objet%20relation%20transcendantal&f=false

(l’article de Rabouin commence en page 29, et l’on peut en lire la majeure partie)

voir aussi :

http://www.academia.edu/7288782/Objet_relation_transcendantal._Une_introduction_au_formalisme_de_Logiques_des_mondes_dAlain_Badiou

et

http://www.diffusion.ens.fr/en/index.php?res=conf&idconf=1565

Le formalisme dans “Logiques des mondes” est celui de la catégorie, qui est un topos, des Ω-sets, appelés T-sets dans l’article de Antti Veilahti : “Badiou’s mistkae” (T comme Truth).

L’objet Ω qui est le “transcendantal” de Badiou, est ce que l’on appelle en théorie des catégories : “classificateur (ou classifieur) de sous-objets”, voir le paragraphe à ce nom dans la page Wiki:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Topos_%28math%C3%A9matiques%29#Classificateur_de_sous-objets

L’objection de fond de Antti Veilahti, qui est d’ailleurs confirmée en termes différents et plus généraux par David Rabouin, se situe dans la différence des cadres mathématiques utilisés par Badiou : théorie des ensembles dans “L’être et l’évènement”, théorie des topoi dans “Logiques des mondes”.

Seulement Badiou est empêché par ses conceptions philosophiques de prendre la pleine mesure de l’universalité de la théorie des topoi, qu’il restreint à un domaine bien particulier, celui appelé par Veilahti : “local topoi”, une branche particulière dont les objets ont une forme ensembliste.

Il ne veut pas s’affranchir de ses réflexions de “L’être et l’évènement” suivant lesquelles la théorie de l’être en tant qu’être, l’ontologie, trouve son cadre dans la théorie platonicienne des ensembles, alors que les topoi et les catégories constitue une pensée logique, une pensée des mondes possibles et de l’apparaître, une pensée du virtuel et non du réel (qui est l’être auquel on adjoint les évènements qui sont des ensembles éléments d’eux mêmes, interdits par l’ontologie mathématique.

Tout cela aboutit à parler du caractère platonicien de la théorie des ensembles, et aristotélicien de la théorie des catégories et des topoi, et là je dois dire que je ne puis pas suivre.

Le platonisme qui est revendiqué ici est déjà impliqué dans la considération, à la suite du premier chapitre de “Raison et religion” de Brunschvicg, du plan vital (ou sensible) et du plan spirituel qui est celui des idées platoniciennes : dans la forme extrémiste de mes spéculations (qui certes devront être vérifiées) ce sont les idées mathématiques, les μαθηματα dont parle Brunschvicg en les opposant aux λογοι .

Topoi comme catégories ou ensembles sont des idées mathématiques, des μαθηματα : donc je ne vois pas comment la théorie des ensembles serait platonicienne alors que la théorie des topoi ne le serait pas.