Tag Archives: théorie des topoi

Une note de Laurent Lafforgue sur les travaux d’Olivia Caramello

La théorie de Caramello: un cadre en construction pour des correspondances du type de celle de Langlands ?

http://www.ihes.fr/~lafforgue/math/TheorieCaramello.pdf

Laurent Lafforgue est ce grand mathématicien, admiré entre autres par l’excellent Finkielkraut, dont nous avions déjà remarqué un article (remarqué parce que remarquable) sur Simone Weil et la mathématique, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/03/simone-weil-et-la-mathematique/

et

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/06/16/simone-weil-et-la-mathematique-suite-la-sphere-et-la-croix/

Ici il donne un exposé, beaucoup plus “technique” mathématiquement parlant, sur les travaux déjà très fournis d’une jeune chercheuse et universitaire, Olivia Caramello dont nous étudions un cours sur les topoi de Grothendieck:

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/cours/topos_caramello/cours-du-14-janvier-2013-rappels-sur-les-topos-de-grothendieck

voir mes articles (qui se bornent en des commentaires censés faciliter aux lecteurs non familiers de ces notions la compréhension de ce cours, mais peut être surestimé-je mes capacités) dans le hashtag #GrothendieckTopos dont le dernier est tout récent:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

Nous n’avons pas encore avancé assez pour tirer toute la substantifique moelle de cet exposé de Laurent Lafforgue, mais je prie les personnes intéressées par les thèmes des blogs

HENOSOPHIA TOPOSOPHIA τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια ενοσοφια

de le noter et ranger dans un coin de leur mémoire comme je le fais car nous y reviendrons sans aucun doute.

Les travaux de Caramello sont très proches, comme ceux de Grothendieck, des préoccupations “philosophiques” de mes blogs “HENOSOPHIA TOPOSOPHIA τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια ενοσοφια” car ils portent sur l’unification de la pensée qui est à mon avis l’essence même de la mathématique et peuvent nous aider à nous acheminer vers cette “pensée selon l’un” comme alternative à la pensée ontologique, en quoi nous cherchons le salut “religieux”. Rappelons que Grothendieck, influencé par les doctrines orientales, parlait souvent de yoga ( des foncteurs, des motifs,…). “Yoga” qui évoque la jonction, le lien, l’unification…

Bien entendu chacun(e) peut s’aventurer, avec les seules ressources d’Internet, dans cette jungle en solitaire, il suffit de chercher sur Google les références pour les termes inconnus ( exemple : Topos Giraud, équivalence de Morita, etc..) mais cela réclame beaucoup de travail.

A noter que Laurent Lafforgue donne à la fin des pistes de développement pour la théorie de Caramello qui “n’a pas encore donné de résultats aussi profonds que la correspondance de Langlands”. Et qu’il regrette que peu de chercheurs se soient assez intéressés aux topoi classifiants.

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Les deux formalismes mathématiques de Badiou : théorie des ensembles et théorie des topoi

On peut critiquer l’oeuvre de Badiou (dont on doit reconnaître cependant l’extrême hauteur de vue intellectuelle) de plusieurs points de vue : strictement mathématique, politique, philosophique….

l’article dont j’ai donné la référence ici :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/06/04/la-faute-de-labbe-badiou/

privilégie le point de vue mathématique, celui du formalisme utilisé , comme on le verra, pour ma part je reconnais la nécessité de plonger très profond dans la partie mathématique de l’oeuvre (axiomatique ZF des ensembles, “forcing” de Paul Cohen, théorie des catégories et des topoi) sinon l’on court le risque d’en rester à un niveau très général, littéraire voire “politique” envisagé du point de vue de la “bien pensance démocratique”, en dénonçant comme Caroline Fourest ou d’autres le maoïsme ou le polpotisme (qui n’est pas avéré) provocateur de Badiou , en tout cas son opposition à la “prétendue” démocratie…

pour ma part j’ai déjà un grief, qui touche à son petit mais magistral écrit :

“Saint Paul : la fondation de l’universalisme”

voir à ce propos :

https://enseignement-latin.hypotheses.org/6792

or selon les vues développées ici, la fondation de l’universalisme se situe dans le cartésianisme et la mathesis universalis,, stade évolutif (non dogmatique) du platonisme qui est la vérité de la philosophie, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/25/le-platonisme-est-la-verite-de-la-philosophie/

(c’est d’ailleurs un second sujet de grief : la nature du platonisme, totalement différente chez Badiou et chez Brunschvicg) et comme le dit Singevin cité dans cet article :

“« Il y a une mesure du vrai, et elle est en nous, dans cette puissance universelle de juger qui est, selon la maxime du cartésianisme, la chose du monde la mieux partagée. Mais c’est aussi que l’être lui même, que l’univers l’y a mise, en ce qu’il vise l’un, que l’ un est valeur, et que ce qui juge de la valeur, c’est nous »”

L’évènement de Damas (d’ailleurs fort suspect, mais ce n’est pas ici la place d’en discuter) doit donc céder la place à la nuit de songes de Descartes, où il aperçoit l’idée de la “science admirable”:

http://singulier.info/rrr/2-rdes1.html

Mais les moyens de parvenir à cette heureuse conquête ne lui causèrent pas moins d’embarras que la fin même. La recherche qu’il voulut faire de ces moyens jeta son esprit dans de violentes agitations, qui augmentèrent de plus en plus par une contention (i) continuelle où il le tenait, sans souffrir que la promenade ni les compagnies y fissent diversion. Il le fatigua de telle sorte que le feu lui prit au cerveau et qu’il tomba dans une espèce d’enthousiasme, qui disposa de telle manière son esprit déjà abattu qu’il le mit en état de recevoir les impressions des songes et des visions. 

  il nous apprend que le dixième de novembre mil six cent dix-neuf, s’étant couché tout rempli de son enthousiasme et tout occupé de la pensée d’avoir trouvé ce jour-là les fondements de la science admirable , il eut trois songes consécutifs en une seule nuit, qu’il s’imagina ne pouvoir être venus que d’en haut……

….Voyant que l’application de toutes ces choses réussissait si bien à son gré, il fut assez hardi pour se persuader que c’était l’esprit de vérité qui avait voulu lui ouvrir les trésors de toutes les sciences par ce songe.”

Le chantier Badiou s’attachera surtout à étudier ses deux oeuvres les plus importantes : “L’être et l’évènement” et “Logiques des mondes”, les seuls où la mathématique est prépondérante pour donner forme au système.

L’examen de l’article “Badiou’s mistake” sur Arxiv :

http://arxiv.org/abs/1301.1203

sera facilité par celui de l’article de David Rabouin titré :

“Objet, relation, transcendantal : une introduction au formalisme de Logiques des mondes”

qui se trouve dans le livre “Autour de Logiques des mondes”, en lecture partielle ici:

https://books.google.fr/books?id=yJfh4V-iLskC&pg=PA33&lpg=PA33&dq=david+rabouin+objet+relation+transcendantal&source=bl&ots=0og1wxJpQX&sig=0DV2PDa7RK58ox2LITXFg_fwd5c&hl=fr&sa=X&ei=jtp2Vfu9McyqUZC6gwg&ved=0CFQQ6AEwCA#v=onepage&q=david%20rabouin%20objet%20relation%20transcendantal&f=false

(l’article de Rabouin commence en page 29, et l’on peut en lire la majeure partie)

voir aussi :

http://www.academia.edu/7288782/Objet_relation_transcendantal._Une_introduction_au_formalisme_de_Logiques_des_mondes_dAlain_Badiou

et

http://www.diffusion.ens.fr/en/index.php?res=conf&idconf=1565

Le formalisme dans “Logiques des mondes” est celui de la catégorie, qui est un topos, des Ω-sets, appelés T-sets dans l’article de Antti Veilahti : “Badiou’s mistkae” (T comme Truth).

L’objet Ω qui est le “transcendantal” de Badiou, est ce que l’on appelle en théorie des catégories : “classificateur (ou classifieur) de sous-objets”, voir le paragraphe à ce nom dans la page Wiki:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Topos_%28math%C3%A9matiques%29#Classificateur_de_sous-objets

L’objection de fond de Antti Veilahti, qui est d’ailleurs confirmée en termes différents et plus généraux par David Rabouin, se situe dans la différence des cadres mathématiques utilisés par Badiou : théorie des ensembles dans “L’être et l’évènement”, théorie des topoi dans “Logiques des mondes”.

Seulement Badiou est empêché par ses conceptions philosophiques de prendre la pleine mesure de l’universalité de la théorie des topoi, qu’il restreint à un domaine bien particulier, celui appelé par Veilahti : “local topoi”, une branche particulière dont les objets ont une forme ensembliste.

Il ne veut pas s’affranchir de ses réflexions de “L’être et l’évènement” suivant lesquelles la théorie de l’être en tant qu’être, l’ontologie, trouve son cadre dans la théorie platonicienne des ensembles, alors que les topoi et les catégories constitue une pensée logique, une pensée des mondes possibles et de l’apparaître, une pensée du virtuel et non du réel (qui est l’être auquel on adjoint les évènements qui sont des ensembles éléments d’eux mêmes, interdits par l’ontologie mathématique.

Tout cela aboutit à parler du caractère platonicien de la théorie des ensembles, et aristotélicien de la théorie des catégories et des topoi, et là je dois dire que je ne puis pas suivre.

Le platonisme qui est revendiqué ici est déjà impliqué dans la considération, à la suite du premier chapitre de “Raison et religion” de Brunschvicg, du plan vital (ou sensible) et du plan spirituel qui est celui des idées platoniciennes : dans la forme extrémiste de mes spéculations (qui certes devront être vérifiées) ce sont les idées mathématiques, les μαθηματα dont parle Brunschvicg en les opposant aux λογοι .

Topoi comme catégories ou ensembles sont des idées mathématiques, des μαθηματα : donc je ne vois pas comment la théorie des ensembles serait platonicienne alors que la théorie des topoi ne le serait pas.