Tag Archives: topos de Grothendieck

Universal algebra in topoi

https://macsphere.mcmaster.ca/bitstream/11375/12519/1/fulltext.pdf

Il s’agit d’une thèse datant de 1973, qui illustre bien la caractère des topos d’être des “univers de pensée”, donc d’univers où il est possible de faire des mathématiques, notamment de l’algèbre.

Il se base sur les topos de Grothendieck, c’est à dire de catégories de faisceaux sur un site, et le chapitre I, page 5 à 20, constitue un bon complément, plus précis et détaille, au cours d’Olivia Caramello en vidéos que nous suivons sous #GrothendieckTopos:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

mais sans entrer dans la théorie de Caramello sur les topoi comme ponts unifiants pour la mathématique, qui commence ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/30/grothendiecktopos-5-idee-centrale-du-cours-sur-les-topoi-de-grothendieck-comme-ponts-unifiants/

Voir aussi sur le cours de Cambridge d’Olivia Caramello:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/01/autre-cours-dolivia-caramello-sur-la-theorie-des-topoi/

Le chapitre I présente les principales notions étudiées dans les cours de Caramello, topologies de Grothendieck, site, crible, faisceaux sur un site, avec des exemples à partir de la page 20 notamment page 25 un exemple tiré de la théorie de la mesure à partir d'un espace topologique : pour tout espace topologique il existe une sigma-algèbre, ou "tribu, dite tribu borélierne, engendrée par les ouverts de la topologie (la plus petite tribu contenant tous les ouverts) et l'on peut alors définir des mesures (y compris de probabilités) sur cette tribu.
Page 19 au paragraphe 4 du chapitre 1 sont expliquées les deux notions de topos : celle géométrique des topoi de Grothendiek comme catégories de faisceaux sur un site, et celle des topoi élémentaires ("elementary topos") axiomatisée par Lawvere et Tierney, qui trouve son origine plutôt dans la logique et la théorie des ensembles, un topos en ce sens étant en un sens informel une catégorie qui se comporte en gros comme la catégorie des ensembles, qui est l'exemple archétypique de topos, c'est à dire une catégorie où l'on peut former des limites (dont un cas particulier est le produit de deux objets), des classificateurs de sous-objets ( sous-ensemble dans le cas de la catégorie des Ensembles) etc…
Mais il faut d'abord passer en revue ces notions (limites, diagrammes, exponentielle, catégorie cartésienne fermée) ce sera fait bientôt..
Enfin page 31 sont expliqués les deux notions de morphismes entre topoi : géométrique et logique.
Tout ceci renvoie évidemment à la double nature, géométrique et logique, de la théorie des topoi:

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/07/30/la-nature-duale-de-la-theorie-des-topoi-geometrique-et-logique/

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Une note de Laurent Lafforgue sur les travaux d’Olivia Caramello

La théorie de Caramello: un cadre en construction pour des correspondances du type de celle de Langlands ?

http://www.ihes.fr/~lafforgue/math/TheorieCaramello.pdf

Laurent Lafforgue est ce grand mathématicien, admiré entre autres par l’excellent Finkielkraut, dont nous avions déjà remarqué un article (remarqué parce que remarquable) sur Simone Weil et la mathématique, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/03/simone-weil-et-la-mathematique/

et

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/06/16/simone-weil-et-la-mathematique-suite-la-sphere-et-la-croix/

Ici il donne un exposé, beaucoup plus “technique” mathématiquement parlant, sur les travaux déjà très fournis d’une jeune chercheuse et universitaire, Olivia Caramello dont nous étudions un cours sur les topoi de Grothendieck:

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/cours/topos_caramello/cours-du-14-janvier-2013-rappels-sur-les-topos-de-grothendieck

voir mes articles (qui se bornent en des commentaires censés faciliter aux lecteurs non familiers de ces notions la compréhension de ce cours, mais peut être surestimé-je mes capacités) dans le hashtag #GrothendieckTopos dont le dernier est tout récent:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

Nous n’avons pas encore avancé assez pour tirer toute la substantifique moelle de cet exposé de Laurent Lafforgue, mais je prie les personnes intéressées par les thèmes des blogs

HENOSOPHIA TOPOSOPHIA τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια ενοσοφια

de le noter et ranger dans un coin de leur mémoire comme je le fais car nous y reviendrons sans aucun doute.

Les travaux de Caramello sont très proches, comme ceux de Grothendieck, des préoccupations “philosophiques” de mes blogs “HENOSOPHIA TOPOSOPHIA τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια ενοσοφια” car ils portent sur l’unification de la pensée qui est à mon avis l’essence même de la mathématique et peuvent nous aider à nous acheminer vers cette “pensée selon l’un” comme alternative à la pensée ontologique, en quoi nous cherchons le salut “religieux”. Rappelons que Grothendieck, influencé par les doctrines orientales, parlait souvent de yoga ( des foncteurs, des motifs,…). “Yoga” qui évoque la jonction, le lien, l’unification…

Bien entendu chacun(e) peut s’aventurer, avec les seules ressources d’Internet, dans cette jungle en solitaire, il suffit de chercher sur Google les références pour les termes inconnus ( exemple : Topos Giraud, équivalence de Morita, etc..) mais cela réclame beaucoup de travail.

A noter que Laurent Lafforgue donne à la fin des pistes de développement pour la théorie de Caramello qui “n’a pas encore donné de résultats aussi profonds que la correspondance de Langlands”. Et qu’il regrette que peu de chercheurs se soient assez intéressés aux topoi classifiants.